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Cours v les nombres complex

Nombres complexes NOMBRES COMPLEXES Table des matières I Introduction I Le nombre i I L ? ensemble des nombres complexes II Forme algébrique II Dé ?nition II Premiers calculs II Représentation graphique II Conjugué d ? un complexe II Inverse d ? un complexe III Forme trigonométrique III Module d ? un nombre complexe III Argument d ? un complexe non nul III Écriture trigonométrique IV Forme exponentielle IV Dé ?nitions IV Règles de calcul en notation exponentielle V Formules de MOIVRE et d ? EULER V Formule de MOIVRE V Formules d ? EULER VI Lignes de niveau VIIÉquations du second degré Les chemins de la création mathématique sont imprévisibles et résultent parfois d ? audacieuses transgressions des règles et savoirs établis Le simple fait d ? avoir introduit dans les calculs un symbole pour désigner des racines carrées de nombres négatifs a conduit au ?l des siècles à élaborer la puissante théorie des nombres complexes - - CNombres complexes I Introduction Tous les nombres positifs ont une racine carrée Par exemple a pour racines carrées et ?? Par contre aucun réel négatif n ? a de racine carrée réelle Les nombres complexes o ?rent la possibilité de pallier à cette injustice I Le nombre i Le nombre i est un nombre dont le carré vaut ?? Ainsi i ?? De plus son opposé ??i a aussi pour carré ?? En e ?et ??i i ?? Les deux racines de ?? sont les deux nombres réels i et ??i Un peu d ? histoire La notation i fut introduite par Euler en puis reprise par Gauss au début du XIXème siècle Cependant le premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes en I L ? ensemble des nombres complexes On connait déjà ensembles permettant de ranger les nombres il s ? agit de N Z D Q et R R ? Q ? D Z ?? ?? N ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? Dé ?nition On dé ?nit l ? ensemble C qui a les caractéristiques suivantes Ses éléments sont appelés nombres complexes Il contient le nombre i véri ?ant i ?? Remarque C est alors un ensemble encore plus grand que tous les autres et on a N ? Z ? D ? Q ? R ? C - - CNombres complexes II Forme algébrique II Dé ?nition Dé ?nition Chaque élément z de l ? ensemble C s ? écrit de manière unique z a ib a et b étant des réels a est appelé partie réelle de z et est noté Re z b est appelé partie imaginaire de z et est noté Im z Remarque Nombres particuliers ? si b on a z a z est donc réel ? si a on a z ib on dit que z est un imaginaire pur Exemple Dans chacun des exemples suivants on donne la partie réelle et la partie imaginaire z i z ?? i z ??i a a ??