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Cours statistique 3 chapitre1

Variables aléatoires réelles Image directe et image réciproque d'un ensemble Dé ?nition d'une variable aléatoire réelle Fonction de répartition d'une v a r Quantiles ou Fractiles Variables aléatoires discrètes Loi de probabilité Moments Propriétés de l'espérance mathématique et de la variance Fonction génératrice des moments Lois discrètes usuelles Loi uniforme Loi binomiale Loi hypergéométrique Loi de Poisson Variables aléatoires continues Transformée de variables aléatoires par changement de variable Moments Fonction génératrice des moments Lois continues usuelles Loi uniforme sur un intervalle Loi normale ou loi de Gauss Loi du Khi-deux Loi de Student Loi de Fisher Théorème central limite Exercices du chapitre C Image directe et image réciproque d'un ensemble Image directe et image réciproque d'un ensemble Dé ?nition Soit une application f E ? F et A ? E B ? F Alors l'image directe de A par f est f A f x x ?? A l'image réciproque de B par f est f ?? B x ?? E f x ?? B Exemple Soit f IR ? IR telle quef x x Alors f f ?? ?? ?? ?? ?? et f ?? ?? ?? ? Dé ?nition d'une variable aléatoire réelle Dé ?nition Considérons un espace probabilisé A P On appelle alors variable aléatoire réelle en abrégé v a r toute application X ?? ? IR ? ?? ? X ? ?? IR véri ?ant la propriété suivante ?? x ?? R ? ?? X ? x X ?? ?? ? x ?? A Une v a r est dite discrète lorsque X est ?ni ou in ?ni dénombrable ensembles de type N Z etc ? continue lorsque X a la puissance du continu ensembles de type R etc ? Notations usuelles F F F F F F F F F F F F F F F F F F ?? ?? ?? A ? IR on note X ?? A par X ?? A x ?? IR on note X ?? x par X x x ?? IR on note X ?? ?? ? x par X ? x etc Fonction de répartition d'une v a r On dé ?nit la fonction de répartion d'une v a r dans le cas général de la manière suivante Dé ?nition On appelle fonction de répartition de la v a r X la fonction FX R ? telle que FX x P X ? x Propriétés générales des fonctions de répartition toujours valables Proposition Soit F la fonction de répartition d'une v a r X Alors F est croissante sur R ?? a b ?? R avec a b P a X ? b F b ?? F a F est continue à droite en tout point de R C ? ? Variables aléatoires réelles lim F x et lim F x x ? ? x ? ?? ? Exemple Une urne contient boules numérotées de à On tire boules l'une après l'autre avec remise et on s'intéresse à la VAR X égale au plus grand numéro tiré