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Corrige ds1 algebre1 Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques d'Oran - Corrigé du devoir surveillé N Module Algèbre I Première année Exercice pts C -Ecrire à l'aide de quanti cateurs et de connecteurs logiques les implications suivantes Si n est entie

Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques d'Oran - Corrigé du devoir surveillé N Module Algèbre I Première année Exercice pts C -Ecrire à l'aide de quanti cateurs et de connecteurs logiques les implications suivantes Si n est entier naturel tel que n est impair alors n est impair pts Si n est entier naturel tel que n ?? n'est pas divisible par alors l'entier n est pair pts -Ecrire les contraposées des propositions précédentes pts -Montrer la contraposée de la première proposition pts -A-t-on démontré l'implication pts Correction ??n ?? N ??k ?? Z n k ?? ??k ?? Z n k ou bien ??n ?? N n impair ?? n est impair ??n ?? N n ?? k ??k ?? Z ?? ??k ?? Z n k ou bien ??n ?? N n ?? n est pas divisible par ?? n est pair La contraposition '- Si n est pair alors n est pair Formellement ??n ?? N ??k ?? Z n k ?? ??k ?? Z n k '- Si n est impair alors n ?? est divisible par Formellement ??n ?? N ??k ?? Z n k ?? ??k ?? Z n ?? k Montrons ' Si n est pair alors il s'écrit n k o? k est entier Mais n k k k est donc pair -Pour le principe de la contraposition on a démontré l'implication Exercice pts Soit E a Déterminer P E pts P P E pts et P P P E pts Correction On a P E E P P E P E E P P P E P P E P E E P E E P E P E E E P E E P E E P E E Remarque ne pas confondre et card card C C Exercice pts Soient E un ensemble ni non vide et f une application C de P E dans P E véri ant a f b ??A B ?? P E f A ?? B f A ?? f B c ??A ?? P E cardA ? cardf A I- Montrer que ??A B ?? P E A ? B ?? f A ? f B pts f A ?? B ? f A ?? f B pts Montrer que f E E pts II- Soient A B ?? P E telles que cardA cardf A et cardB cardf B Montrer que card A ?? B cardf A ?? B pts card A ?? B cardf A ?? B pts Indication card A ?? B cardA cardB ?? card A ?? B C III- Soit E un ensemble non vide on dé nit pour tout A ?? P E l'application ?A E ?? ? telle que ?A x si x ?? A si x ?? A ?A s'appelle la fonction caractéristique de A Montrer que ?A ? ?B ? ?? A ? B pts ?A ?B ? ?? A B pts C Correction I-Montrons que pour A B ? E telle que A