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Controle intermediaire printemps 2011 math ii analyse correction

Contrôle continu Math II analyse Le Avril Durée heure Exercice Soit la fonction numérique dé ?nie par Déterminer sur quel ensemble est dé ?nie continue dérivable Etudier la parité de et en déduire un intervalle d ? étude Calculer la dérivée de et exprimer les valeurs qui l ? annulent sur de la manière la plus simple possible Cette expression ne doit pas faire apparaitre de fonction hyperbolique réciproque Déterminer les variations de sur Calculer la limite en de sans préjuger qu ? elle existe Calculer la limite en de sans préjuger qu ? elle existe Que peut-on en déduire Dresser le tableau de variation et tracer sommairement son graphe Allez à Correction exercice Exercice Résoudre Allez à Correction exercice Exercice Soit la fonction dé ?nie sur par ?? Montrer que est continue sur Montrer que n ? est pas prolongeable par continuité en Calculer la dérivée de sur En déduire une expression plus simple de sur et sur Allez à Correction exercice CORRECTION Correction exercice Pour tout donc fonctions continues et dérivables et est dé ?nie continue et dérivable sur par composée de est dé ?nie continue et dérivable sur est paire on peut étudier sur C Soit on connait la formule donnant en fonction du logarithme et ?? ?? ?? Si on ne la connait pas on pose Le discriminant vaut et les deux racines sont Si on ne cherche que les solutions il n ? y a qu ? une solution Conclusion les valeurs positives ou nulle qui annule sont et Si alors car est strictement croissante sur et donc Si alors car est strictement croissante sur et donc Si est strictement positive on déduit de tout cela le signe de la dérivée et donc les variations de Si est décroissante Si est croissante On en déduit que la droite d ? équation est asymptote à la courbe représentative de en C - - - - Allez à Exercice Correction exercice Donc Allez à Exercice Correction exercice ?? est dé ?nie et continue sur ?? donc est dé ?nie et continue sur ?? Les limites à gauche et à droite de sont di ?érentes donc n ? est pas prolongeable par continuité en On pose pour tout ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? Sur ?? donc il existe tel que CEt alors ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? est continue en donc Et donc Sur ?? donc il existe tel que ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? Et alors est continue en donc Et donc Allez à Exercice C