Suites n umériques I : Notion de limite Mar F erralis 18 septem bre 2012 1 Suit

Suites n umériques I : Notion de limite Mar F erralis 18 septem bre 2012 1 Suite div ergen te v ers l'in ni 1.1 Dé nition et premières ré exions Dé nition 1. On note {un}n⩾0 une suite de nom bres réels. Dire que "{un}n⩾0 div erge v ers +∞" signi e que tout in terv alle de la forme ]A, +∞[ on tien t tous les termes un à partir d'un ertain rang. D'une façon équiv alen te, on dit que p our tout nom bre réel A "aussi grand que l'on v eut", il existe un rang, noté n0 tel que, p our tout n ⩾n0 , on a né essairemen t un > A. La phrase mathématique s'é rit : ∀A ∈R, ∃n0 ∈N : n ⩾n0 ⇒un > A Notation. Lors qu'une suite {un}n∈N div erge v ers +∞ on note : lim n→+∞un = +∞ Exemple 1. P our tout n ∈N, nous dé nissons la suite de terme général un = n2 . Mon trons que ette suite {un}n∈N div erge v ers +∞. Une v éri ation simple mon tre que ette suite attein t la v aleur 100 au rang 10, la v aleur 1000000 au rang 1000 et ainsi de suite. P our démon trer qu'elle div erge v ers l'in ni, on ne doit pas se on ten ter de as parti uliers. On xe un nom bre A > 0 . Nous v oulons déterminer s'il existe un rang à partir duquel les termes de la suite dépassen t tous A. Dans e but, nous p ouv ons her her à résoudre dans N l'inéquation un > A. un > A n2 > A n > √ A Ainsi si nous notons n0 le premier en tier sup érieur à √ A, nous a v ons bien, p our tout n ⩾n0 , un > A. Nous p ouv ons en on lure que limn→+∞n2 = +∞. 1 Questions à étudier. Rép ondre en argumen tan t. • Quelle dé nition p eut-on donner à la phrase "la suite {un}n∈N div erge v ers −∞" ? • Les termes d'une suite div ergean t v ers +∞ son t-ils né essairemen t p ositifs à partir d'un ertain rang ? • Si deux suites div ergen t v ers +∞, que p eut-on dire de leur somme ? de leur pro duit ? • Si une suite div erge v ers +∞ et une aute v ers −∞, que p eut-on dire de leur somme ? de leur pro duit ? Exer i e 1. 1. La suite dé nie par un = √n p our tout n ⩾0 est-elle div ergen te v ers +∞ ? 2. Même question p our la suite dé nie par un =  n2 si n est pair 0 si n est impair 0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n un b b b b b b b b b Figure 1  Cette suite n'est pas ma jorée. 3. Même question p our la suite dé nie par un = n + (−1)n p our tout n ⩾0 . (C'est la suite de la b ergère). 1.2 Théorèmes de div ergen e Dé nition 2. Rapp els utiles Soit une suite {un}n∈N . On dit qu'elle est :  ma jorée s'il existe un nom bre M tel que un ⩽M p our tout en tier n .  minorée s'il existe un nom bre m tel que un ⩾m p our tout en tier n .  b ornée si la suite est à la fois ma jorée et minorée.  roissan te si il existe n0 tel que n ⩾n0 ⇒un+1 ⩾un .  dé roissan te si il existe n0 tel que n ⩾n0 ⇒un+1 ⩽un . 2  monotone si la suite est roissan te ou dé roissan te. On pré isera que les roissan es ou dé roissan es son t stri tes si les inégalités son t stri tes. R emar que. Il existe des suites qui ne son t ni roissan tes, ni dé roissan tes, par exemple la suite de terme général un = (−1)n . Propriété 1. Une suite r oissante et non major é e diver ge vers +∞. Démonstr ation. Notons {un}n∈N une suite roissan te et non ma jorée. Soit A > 0 un nom bre xé (un seuil). Nous v oulons mon trer qu'à partir d'un ertain rang, tous les termes de la suite {un}n∈N son t sup érieurs à A. La suite est supp osée non ma jorée, don il existe un terme de ette suite qui dépasse for- émen t A. Notons N le rang de e terme. Nous a v ons uN ⩾A. Comme la suite est supp osée roissan te, tous les termes de rang n ⩾N son t sup érieurs à uN et par onséquen t au nom bre A. (p our tout n ⩾N , un ⩾uN ⩾A). R emar que. Nous v errons que les deux h yp othèses son t imp ortan tes, une suite juste roissan te ne div erge pas for émen t v ers l'in ni, une suite juste non ma jorée non plus... Propriété 2. (Thé or ème de omp ar aison) {un}n∈N et {vn}n∈N sont deux suites. On supp ose qu'à p artir d'un ertain r ang, tous les termes véri ent un ⩾vn . Si {vn}n∈N diver ge vers +∞, alors {un}n∈N diver ge vers +∞. Démonstr ation. Soit A > 0 un nom bre xé. Nous sa v ons que {vn}n∈N div erge v ers +∞, il existe don un rang N à partir duquel tous les termes de la suite son t plus grands que A. Nous a v ons supp osé qu'à partir d'un ertain rang, notons-le N′ , nous a v ons un ⩾vn . P ar onséquen t, à partir du rang max(N, N′), nous a v ons un ⩾vn ⩾A. Questions à étudier. V rai ou F aux ? • Si une suite n'est pas ma jorée alors elle tend v ers +∞. • Si une suite est roissan te alors elle tend v ers +∞. • Si une suite tend v ers +∞ alors elle n'est pas ma jorée. • Si une suite tend v ers +∞ alors elle est roissan te. 3 2 Suite on v ergen te 2.1 Dé nition et premières propriétés Dé nition 3. Une suite {un}n∈N on v erge v ers le réel l si, et seulemen t si, tout in terv alle ouv ert on tenan t l on tien t tous les termes de la suite à partir d'un ertain rang. On dit que l est la limite de la suite {un}n∈N . Notation. On é rit limn→+∞un = l . Propriétés 1. • Si une suite onver ge vers une limite, el le- i est unique. • Une suite onver gente est b orné e. Op érations sur les limites Propriété 3. Si {un}n∈N et {vn}n∈N sont deux suites onver gentes vers r esp e tivement l et l′ , alors : • limn→+∞(un + vn) = l + l′ • limn→+∞(un −vn) = l −l′ • limn→+∞(unvn) = l × l′ • Si l′ ̸= 0 , limn→+∞ un vn = l l′ Propriété 4. Situations ambigües. limn→+∞un l l +∞ −∞ +∞ limn→+∞vn +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ limn→+∞(un + vn) +∞ −∞ +∞ −∞ F orme indéterminé e ∞−∞ Propriété 5. Soit {un}n∈N une suite de termes p ositifs non nuls. Si {un}n∈N diver ge vers +∞ ou vers −∞, alors { 1 un}n∈N diver ge vers 0 . Propriété 6. R é ipr o quement, nous dir ons que si {un}n∈N onver ge vers 0 , alors { 1 |un|}n∈N diver ge vers +∞. Rapp els sur les op érations sur les limites 2.2 Théorèmes de on v ergen e Un ritère de on v ergen e imp ortan t Théorème 1. Thé or ème de la limite monotone T oute suite r oissante et major é e est onver gente. T oute suite dé r oissante et minor é e est onver gente. R emar ques.  La preuv e de e résultat très imp ortan t en analyse n'est pas au programme de T erminale. Il se fonde sur la propriété ara téristique des nom bres réels : la propriété de la b orne sup érieure . Cette propriété énon e que l'ensem ble des ma joran ts d'une partie non vide ma jorée de R admet un plus p etit élémen t : la b orne sup érieure de ette partie.  Nous v o y ons qu'une suite roissan te (resp. dé roissan te) est soit on v ergen te, soit div er- gen te v ers +∞ (resp. v ers −∞). 4 Ma joration d'une suite roissan te on uploads/Litterature/ suite-numerique-notion-de-limite.pdf

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