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× UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 3 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKA

× UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 3 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fann-S´en´egal Serveur Vocal : 628 05 59 T´el´efax (221) 33 864 67 39 - T´el. : 824 95 92 - 824 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 01 G 18 Bis A18 4 heures S´erie S1-S3 Coef 8 Epreuve du 1er groupe Les calculatrices ´electroniques non imprimantes avec entr´ee unique par clavier sont autoris´ees. Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des trac´es de courbe sont interdites. 0 Leur utilisation sera consid´er´ee comme une fraude.(CF.Circulaire n 5990/OB/DIR. du 12 08 1998) Exercice 1 (4 points). Le t´el´ephone portable de Babou contient en m´emoire un r ´epertoire de 1500 chansons dont 700 dans la cat´egorie mbalax, 100 dans la cat´egorie zouk, 200 dans la cat´egorie techno et 500 dans la cat´egorie taxourane. Une des fonctionnalit´es du t´el´ephone permet d’´ecouter de la musique en mode ≪ lecture al ´eatoire ≫ : Les chansons ´ecout´ees sont choisies au hasard et de fa¸con ´equiprobable. 40% des chansons du r´epertoire sont interpr´et´ees en S´er`ere et 28% des chansons de la cat ´egorie mbalax sont interpr´et´ees en S´er`ere. Au cours de son footing journalier, Babou ´ecoute une chanson graˆce a` ce mode de lecture. On note : M l’´ev´enement : ≪ La chanson ´ecout´ee est de la cat´egorie mbalax. ≫ S l’´ev´enement : ≪ La chanson ´ecout´ee est interpr´et´ee en S´er`ere. ≫ 1. Calculer p(M). 0.75 pt 2. a. D´eterminer p(S) et p(S/M). 2 × 0.25 pt b. Calculer la probabilit´e que la chanson ´ecout´ee soit une chanson de la cat´egorie mbalax interpr´et´ee en S´er`ere. 1 pt c. Calculer p(M/S). 0.75 pt 3. En fait, Babou ´ecoute de cette mˆeme fa¸con al´eatoire une chanson de son r ´epertoire lors de son footing le matin, `a la prise du petit d´ejeuner, sur le chemin de l’´ecole, au d´ejeuner et le soir avant d’aller au lit. Son cousin Bachir, fin math´ematicien, lui dit qu’il a [496 (0.4)3] % de chances d’´ecouter au moins trois chansons S´er`ere `a la fin de la journ´ee. Dire en le justifiant si Bachir a raison ou pas. 1 pt Exercice 2 (5 points). Le plan complexe P est muni d’un rep`ere orthonormal direct (O, →−u , −→v ). On consid`ere l’application f de P dans P qui `a tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z′ telle que z′ = ei|z|z. 1. D´eterminer les affixes des points A ′ et B ′ images respectives par f du point A d’affixe π et du point B d’affixe 2π. 2 × 0.5 pt 2. Montrer qu’un point M est invariant par f si et seulement s’il existe un entier naturel k tel que OM = 2kπ. En d´eduire l’ensemble E des points invariants par f . 2 × 0.5 pt 3. Soit C le point d’affixe 1 + i √ 3 et ∆ la demi-droite d’origine O passant par C et ne ′ contenant pas le point O (Demi-droite ouverte ]OC)), M un point de ∆ d’affixe z et d’image M′ par f . D´eterminer |z| pour que M et M soient sym´etriques par rapport l’axe (O, u ). 0.5 pt 01 G 18 Bis A18 S´erie S1-S3 er MATHEMATIQUES 2 / 3 ∈ 2 Epreuve du 1 groupe 4. P o u r t o u t k N ∗ , o n n o t e C k l e c e r c l e d e c e n t r e O e t d e r a y o n 2 k π , D k l a c o u r 01 G 18 Bis A18 S´erie S1-S3 er MATHEMATIQUES 3 / 3 ∩ k + + + + + + ∈ ∫ onne d´elimit´ee par les cercles Ck et Ck+1 et ak l’aire de la couronne Dk. a. Calculer ak. b. D´eterminer la nature de la suite (an)n∈N∗ . c. Calculer la limite de la suite (an)n∈N∗ . 5. Soit k ∈ N∗. a. D´eterminer les points de ∆D qui sont sym´etriques avec leur image par rapport a` l’axe (O, →−u ). b. Montrer que tout point de Dk a son image par f dans Dk. PROBLEME (11 points). Partie A (3 points) 1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle y ′ + y = 0. Soit ϕ une application d´erivable de R ∗ dans R, et soit g l’application numer´ ique definie´ R∗ par g(x) = ϕ(x)ex. 2. a. V´erifier que g est d´erivable en tout point x de R ∗ et d´emontrer que, pour que ϕ v ´erifie ∗ ′ 1 ∀x ∈ R+, ϕ (x) + ϕ(x) = − x − ln x, (1) x ex il faut et il suffit que g soit une primitive de l’application x ›→ −e x ln x − ex . 0.5 + 1 pt x b. Quel est l’ensemble des primitives de la fonction x ›→ −e ln x − ? 0.5 pt x 3. En d´eduire que l’ensemble des applications d´erivables de R ∗ dans R ver´ ifiant (1) est l’ensemble des applications x ›→ ae−x − ln x ou` a d´esigne une constante r´eelle. Soit f l’application de R∗ Partie B (5.25 points) dans R d´efinie par : ∀x ∈ R ∗ , f (x) = e1−x − ln x. 1. a. Etudier les variations de f et construire sa repr´esentation graphique dans un rep`ere orthonorm´e. 0.75 + D´emontrer que l’´equation f (x) = 0 admet une solution unique c et que c ]1, 2[. 0.5 + 0.25 pt b. Calculer lim xf (x). x›→0+ c. S oi t x u n ´ el ´ e m e n t d e l’i n t e r v al le ] 0 , 1 ]. 1 C c e l’i t ´ r F ( = x f (t) dt en fonctio n de x. Mon trer que lorsq ue x tend vers 0, F (x) tend vers e. pt 2. So it 01 G 18 Bis A18 S´erie S1-S3 er MATHEMATIQUES 4 / 3 n un entier sup´erieur ou ´egal `a 2. n n n n n k=2 n n n n k=1 n n n n n n n n k=1 n n n Σ (1−k/n) n . Σ + + f ′(1) 12 Epreuve du 1 groupe3 a. Montrer que, pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ n − 1 et pour tout r´eel t tel que k ≤ t ≤ k + 1 , on a : f . k + 1 Σ ≤ f (t) ≤ f . k Σ . 0.25 pt n n−1 b. Montrer alors que 1 Σ f . k Σ ≤ F . 1 Σ ≤ 1 Σ f . k Σ, 0.5 pt En d´eduire que F . 1 Σ + 1 ≤ 1 Σf . k Σ ≤ F . 1 Σ + 1 f . 1 Σ. 0.25 pt 3. a. D´eduire des questions pr´ec´edentes que, lorsque n tend vers l’infini, 1 Σ f . k Σ admet une limite et calculer cette limite. 0.5 pt 1 n 1 b. E´tablir les ´egalit´es : e = (e − 1) et 1 Σ ln . k Σ = 1 ln . n! Σ n k=1 n(e1/n − 1) n n k=1 n nn 2 × 0.25 pt c. Utiliser les r´esultats pr´ec´edents pour d´emontrer que les deux suites d´efinies par : 1 n! un = n ln nn et vn = n √ n n! . ont des limites lorsque n tend vers l’infini et calculer ces limites. 2 × 0.25 pt Partie C (2.75 points) 1. a. D´eterminer le sens de variation de f ′ dans l’intervalle [1, 2]. 0.5 pt Soit P l’application de R∗ dans R d´efinie par : ∀x ∈ R ∗ , P (x) = x − f (x) . b. Etudier les variations de P dans l’intervalle [1, 2]. Montrer que P r´ealise une bijection de [1, c] sur un intervalle J contenu dans [1, c]. 0.5 + 0.25 pt En d´eduire que l’on d´efinit bien une suite cn d’´el´ements de [1, c] en posant c0 = 1 et pour tout entier naturel n, cn+1 = P (cn). 0.25 pt 2. a. Montrer que pour tout x ∈ [1, 2], 0 ≤ P ′(x) ≤ P ′(2) ≤ 7 . 0.25 pt b. En utilisant le th´eor`eme des accroissements finis, v´erifier que pour tout entier n, 7 |cn+1 − c| ≤ 12 |cn − c|. 0.5 pt En d´eduire que la suite (cn) est convergente et d´eterminer sa limite. 0.25 pt c. Quelle valeur suffit-il de donner `a n pour que cn soit une valeur approch´ee de c a` 10−2 pr`es ? 0.25 pt k=1 uploads/Litterature/ senegal-2018.pdf