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Concours d eleve titulaire de i ensai concours externe d attache de l x27 insee 1

E N S A I lère épreuve INSTITUT NATIONAL DE LA STATISTIQUE ET DES ÉTUDES ÉCONOMIQUES ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L ? ANALYSE DE L ? INFORMATION concours d ? élève titulaire de I ? ENSAI concours externe d ? attaché de l ? INSEE - Option A MATHÉMATIQUES première composition de mathématiques Durée heures Notations - rappels On note E le cardinal d ? un ensemble ?ni E N désigne l ? ensemble des entiers naturels privés de O Si n E N on désigne par n un ensemble à n Cléments que l ? on identi ?era à n pour simpli ?er S désigne l ? ensemble des permutations de n n E N On rappelle que S n On note R O l ? ensemble des polynômes à coe cients réels Rappels On note l ? opération d ? un groupe G sur un ensemble X Si x E X l ? orbite de x est l ? ensemble noté G x égal à g x g E G Les orbites de X forment une partition de X Lorsque G est un sous- groupe de S G opère sur n par g k g k g E G k E n Le but du problème est de passer en revue quelques techniques de dénombrement Les quatre parties sont indépendantes PARTIE Cardinaux d ? ensembles ?nis Formule du produit Soient E En n ensembles ?nis n E N On admet la formule IE X X E n IE I X X IE I CE N S A I lkre épreuve ci Déduire de que le nombre d ? applications de n dans m est m ? m E N On appelle nombre de Stirling de deuxième espèce le nombre de partitions d ? un ensemble à n Cléments en m classes non vides n m E N m n On note S y ce nombre b Justi ?er que m S est le nombre de surjections de n sur m c Justi ?er I ? égalité k I d Déduire de la question c que f C V X E R Il S f x x x - l X X x - k l n ?xédansN k Formule de PoincarC Soient E E II ensembles ?nis n E N On admet la formule n IE U U E l C - l - ? k I E n E n nEi ci Soit n E N On note D u E S a k f k V k E n et E u E S u k k k E n À l ? aide de la formule précédente montrer que D I n -- -- - l n b Soit n m E N ? n m Montrer que le nombre s n m de surjectionsde n sur m s ? écrit ni s n m C -l kC t m - k ? r n S r d ? après b k