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Lecture # 1 Titre : Circuits à courant alternatif Référence complète : RASOLOND

Lecture # 1 Titre : Circuits à courant alternatif Référence complète : RASOLONDRAMANITRA, H. (2007). Circuits à courant alternatif. Madagascar. Université d’Antananarivo. Cours inédit. Résumé : Ce chapitre analyse les oscillations de tension et de courant dans les circuits comportant diverses combinaisons de résistance, d’inductance et de capacité. Il étudie les impédances de ces circuits, le phénomène de résonance dans un circuit RLC série, la puissance en courant alternatif. Justification Cette lecture prépare l’apprenant(e) à l’activité d’apprentissage 1. Il (elle) mobilisera ses acquis lors de cette lecture : - pour calculer le déphasage entre tension et courant, l’impédance d’un circuit - pour établir l’impédance complexe d’un circuit - pour établir et calculer le courant instantané qui parcourt un circuit et la tension instantanée à ses bornes CIRCUIT A COURANT ALTERNATIF Ce chapitre se propose de (d’) : - analyser les courants qui s’établissent dans des circuits comprenant des résistances R, des capacités C et d’inductances L dans le cas où des f.é.m. sinusoïdales sont appliquées aux bornes de ces circuits - étudier le phénomène de résonance dans un circuit RLC - déterminer les puissances en courant alternatif : facteur de puissance, puissance active et puissance réactive 1. Généralités Rappelons quelques généralités sur le courant alternatif. Un courant qui varie périodiquement en se renversant est appelé courant alternatif. Un courant alternatif est dit sinusoïdal lorsque son intensité est une fonction sinusoïdale du temps : i = Im sin (ωt + ϕ) ou i = Im cos (ωt + ϕ) Im est l’amplitude de l’intensité ou intensité maximale du courant : (ωt + ϕ) est la phase à l’instant t ϕ est la phase à t = 0 ω est la pulsation sin (ωt + ϕ) et cos (ωt + ϕ) sont des fonctions périodiques de période T = ! " 2 et de fréquence f = ! " 2 T 1 = La figure ci-dessous décrit la variation de i = Im cos (ωt + ϕ) en fonction du temps t 2. Circuit comportant uniquement une résistance Supposons que ce circuit est soumis à une tension alternative U = Um sin ωt d’amplitude de tension Um. Cherchons le courant IR qui le parcourt. VR est la tension aux bornes de la résistance. En appliquant la loi de Kirchhoff relative à une maille (VR = Um sin ωt) et la loi d’Ohm (VR = RIR) à la portion ab, nous obtenons : R U I m R = sin ωt ou IR = IRm sin ωt avec R U I m Rm = La figure ci-après montre les oscillations du courant IR et de la tension VR Oscillations du courant et de la tension aux bornes de R VR et IR atteignent leur valeur maximale et s’annulent simultanément. Ils sont en phase. Ces deux grandeurs peuvent être représentées à l’aide de diagrammes vectoriels appelés diagrammes de Fresnel : dans cette représentation, elles sont décrites par deux vecteurs (vecteurs de Fresnel) qui tournent avec une fréquence angulaire ω dans le sens contraire des aiguilles d’une montre et dont les longueurs sont respectivement proportionnelles à Um et IRm. Les projections sur l’axe vertical donnent les valeurs instantanées VR et IR. VR et IR étant en phase, leurs vecteurs de Fresnel ont la même direction et le même sens. 3. Circuit comportant uniquement une capacité On se propose de comparer les oscillations de courant IC qui parcourt le circuit et de la tension VC aux bornes du condensateur. Nous avons ici : C q VC = et VC = Um sin ωt (d’après la loi des mailles). Ces deux relations donnent : q = C Um sin ωt Mais dt dq IC = , on obtient alors: IC = ω C Um cos ωt = ω C Um sin (ωt + 2 ! ) On voit que IC est en avance de phase de 2 ! sur VC. IC atteint sa valeur maximale avant VC. Reprenons IC = ω C Um cos ωt. On peut l’écrire : t cos X U t cos C 1 U I C m m C ! ! ! = " # $ % & ' = avec C 1 XC ! = . L’amplitude de courant est ici C m Cm X U I = avec Um = VC m la valeur maximale de VC. Les figures qui suivent décrivent les oscillations de IC et de VC et leurs présentations de Fresnel. En comparant la relation ICm = Um / XC à la loi d’Ohm en courant continu (U = RI), on déduit que XC joue le rôle d’une résistance. XC est appelé réactance de capacité et dépend de la pulsation, si C est exprimé en Farad et ω en s-1 alors XC sera en Ohm. 4. Circuit comportant uniquement une inductance Comparons les oscillations de courant IL qui parcourt le circuit et de la tension VL aux bornes ab. La tension VL aux bornes de l’élément inductif L est : t sin U dt dI L V m L L ! = = (d’après la loi de Kirchhoff relative à une maille). On a donc : dt t sin L U dI m L ! " # $ % & = ' Après intégration on obtient : ) 2 - t ( sin L U t cos L U - I m m L ! " " " " = = IL est en retard de phase 2 ! sur VL. Le courant atteint sa valeur maximale après la tension VL. L’amplitude de courant est : L m m Lm X U L U I = = ! avec Um = VL m la valeur maximale de VL et XL = ωL. XL est appelé réactance d’induction et son unité est aussi l’Ohm dans le système d’unité internationale. XL dépend aussi de la pulsation ω. Les oscillations de IL et VL et leurs vecteurs de Fresnel sont illustrés ci-dessous La figure suivante résume le comportement de R, XC et XL en fonction de la pulsation ω. 5. Circuit RLC Considérons un circuit RLC alimenté par une f.é.m. U = Um sin ωt. Cherchons le déphasage entre le courant I qui traverse le circuit et la tension d’alimentation. Rappelons nos notations : VR = tension instantanée aux bornes R et de valeur maximale VRm VC = tension instantanée aux bornes de condensateur et de valeur maximale VCm VL = tension instantanée aux bornes de la bobine et de valeur maximale VLm La valeur instantanée de la source est U et sa valeur maximale Um. Désignons par Im l’amplitude du courant I. On a: VRm = Im R VCm = Im XC VLm = Im XL Rappelons aussi les résultats des sections précédentes à savoir : - VR est en phase avec le courant - VC est en retard de phase de 2 ! par rapport au courant - VL est en avance de phase de 2 ! par rapport au courant L’application de la loi des mailles donne : U = VR + VC + VL On voit que la tension instantanée U aux bornes ad est égale à la somme des tensions instantanées VR, VC et VL. La représentation de Fresnel qui correspond à ce circuit est donnée ci-dessous. Les tensions instantanées VR, VC, et VL sont les projections sur l’axe vertical des vecteurs de Fresnel d’amplitude VRm, VCm et VLm. La somme vectorielle de ces vecteurs de Fresnel donne le vecteur de Fresnel d’amplitude Um et dont la projection sur l’axe vertical est précisément la tension instantanée d’alimentation U. Représentation de Fresnel qui correspond au circuit RCL : cas où XL > XC On déduit de la figure que : 2 Cm Lm 2 Rm m ) V - (V V U + = = 2 C L 2 m ) X - (X R I + Posons 2 C L 2 ) X - (X R Z + = = 2 2 ) C 1 - L ( R ! ! + alors on a: Um = Z Im ⇒ Im = Z Um Z est l’impédance de ce circuit. Il est exprimé en Ohm. L’angle φ est le déphasage entre la source U et le courant I et est tel que : Lm cm L C Rm V - V X - X tan V R ! = = Dans le cas où XL > XC, tgφ est positif et le courant est en retard de phase φ sur la tension : U = Um sin ωt I = Im sin (ωt - φ) (on a ici un circuit plus inductif que capacitif) Dans le cas où XL < XC, tanφ est négatif et le courant est en avance de φ par rapport à la tension : U = Um sin ωt I = Im sin (ωt + φ) (le circuit est plus capacitif qu’inductif) Remarquons aussi que l’angle φ est tel que cos φ = Z R 6. Impédance complexe 6-1- Eléments mathématiques (Rappel) Un nombre complexe y j x A + = peut uploads/Litterature/ rasolondramanitra-lectures-c-pdf.pdf