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Module : Systèmes Asservis Niveau : 3eme Anne . ELT Chapitre 2: Modélisation de

Module : Systèmes Asservis Niveau : 3eme Anne . ELT Chapitre 2: Modélisation des systèmes . 1. Modélisation : Pour commander correctement un système, il est nécessaire de définir un modèle mathématique qui représente la relation entre les signaux d’entrée et les signaux de sortie. À l’aide de ce modèle mathématique, il est possible de calculer la sortie du système étudié si on connaît l’entrée et les conditions initiales. L’ensemble des procédures permettant d’obtenir un modèle mathématique est la modélisation. Quand le système étudié est complexe, l’écriture des lois physique régissant le système devienne difficile. Dans ce cas, on cherchera un modèle de représentation permettant de modéliser le fonctionnement du système étudié. Ce chapitre a pour but de donner les principales représentations d’un système dynamique linéaire continu temps invariant monovariable . 2. Représentations temporelles 2.1 Représentation par une équation différentielle La plupart du temps, on représente un système dynamique linéaire continu monovariable d’entrée u(t) et de sortie y(t) par une équation différentielle à coefficients constants de la manière suivante: où :  les coefficients ai et bi sont des constantes réelles, telles que ac, an, b0 et bm soient non nuls,  n et m sont des entiers positifs tels que m ≤ n pour que le système soit causal; n est l’ordre du système,  c est un entier positif ou nul appelé classe du système. Cette équation différentielle est une représentation entrée/sortie du système. La solution de cette équation représente l’évolution de la sortie du système y(t) au cours du temps en fonction de l’entrée u(t) et de conditions initiales. Exemple 1 : Considérons le circuit RLC suivant : On veut déterminer la relation liant u(t) (tension d’alimentation) et y(t) (le courant i(t)). L’équation de maille donne : Exemple 2 : La Figure 2 montre une suspension de masse M dont on veut définir la relation liant le déplacement linéaire y(t) (sortie) et la force f(t) (entrée). - L’équation de Newton donne : 2.2 Représentation par le modèle d'état La forme générale d’un tel modèle d'état est donnée par la forme suivante : Où: A: est la matrice d’état ou d’évolution, B: est la matrice d’entrée, C: est la matrice de sortie ou d’observation et le scalaire D: représente la transmission directe de l’entrée sur la sortie. L’état et la sortie peuvent ainsi être calculés, à tout instant, pour des condition initiale x(0) quelconques. On adopte fréquemment le schéma-bloc donné par la Figure 3 pour illustrer cette représentation. Exemple 3 : Reprenons l'exemple électrique.1. Supposons maintenant que la sortie du système est la tension aux bornes du condensateur. Dans ce cas, on a : On choisit deux variables d’états (n = 2): Alors, en obtient : On en déduit la représentation d’état : 2.3 Représentation par fonction de transfert Une représentation très utilisée pour l’étude des systèmes linéaires est la fonction de transfert (transmittance) obtenue par transformation de l’équation différentielle entrée-sortie en une équation algébrique facile à manipule. Pour cela on utilise la transformée de Laplace. Nous allons donc tout d’abord présenter un bref rappel de la transformée de Laplace. 2.3.1 transformée de Laplace a) Définition : Considérant une fonction réelle d’une variable réelle s(t) telle que s(t) = 0 pour t < 0, on définit sa transformée de Laplace L(s) comme la fonction S de la variable complexe p telle que : La fonction S(p) est une fonction complexe d’une variable complexe p (avec p = σ +jω). La transformée de Laplace d’une fonction s(t) n’existe pas dans tous les cas : il est nécessaire que l’intégrale ci-dessus converge. On démontre que cette convergence est vérifiée si la partie réelle σ de la variable p est supérieure à une valeur donnée α appelée seuil de convergence. D’une manière plus générale, la transformation de Laplace est une application de l’espace des fonctions du temps (nulles pour t < 0) vers l’espace des fonctions complexes d’une variable complexe. La fonction s(t) s’appelle l’original de S(p), ou encore sa transformée inverse. b) Propriétés fondamentales de la transformation de Laplace: Les propriétés qui suivent sont fondamentales car elles permettent de calculer facilement (sans utiliser la définition de la transformation de Laplace) les transformées de Laplace de certains signaux. a) Linéarité : b) La Dérivation : De même, la transformée de Laplace de sa dérivée n-ième est : c) Intégration: d) Théorème du retard : e) Théorème de la valeur initiale : f) Théorème de la valeur finale: g) Translation de la variable de Laplace : h) Propriétés diverses : Sans être fondamentales, les trois propriétés suivantes peuvent s’avérer utiles lors du calcul de certaines transformées de Laplace : c) TRANSFORMÉES DE LAPLACE DE QUELQUES SIGNAUX USUELS:  Échelon unité : L’échelon unité (figure1 ) est la fonction u(t) telle que u(t) = 0 pour t < 0 et u(t) = 1 pour t ≥ 0. On a alors : - Compte tenu de la linéarité de la transformée de Laplace, tout échelon (non unitaire), d’amplitude A, aura pour transformée de Laplace :  Rampe ou échelon de vitesse: Il s’agit en réalité de l’intégrale de la fonction u(t) précédente. On la note en général v(t). Elle est nulle pour t négatif et est égale à t pour t positif ou nul (figure 2 ). On peut écrire : On a évidemment : - Compte tenu de la linéarité de la transformée de Laplace, toute rampe de type s(t) = kt (pour t positif) aura pour transformée de Laplace :  Impulsion unitaire: Une impulsion unitaire (t) peut être définie comme la limite , quand A tend vers l'infinie , d'un signal rectangulaire d'amplitude A et de dure 1/A. ce signal est appelé unitaire car : On a alors : (t) (p)=1 d) Transformée de Laplace inverse De même qu’une fonction du temps peut avoir une transformée de Laplace, il est possible à partir d’une fonction F (p) de retrouver son original, autrement dit la fonction f (t) dont elle est la transformée de Laplace. Il s’agit ici de calculer une intégrale dans le plan complexe : si : Alors : - Les principales propriétés de la transformée de Laplace sont présentées dans le Tableau 3. Algèbre des diagrammes fonctionnels Les principales opérations permettant de réarranger les blocs en vue de la simplification/réduction sont représentées aux Figures suivantes : Exemple : on considère le diagramme de la Figure10 , il est possible d’utiliser les règles présentées ci-dessus pour obtenir la fonction de transfert Solution : uploads/Litterature/ modelisation-des-systemes 1 .pdf