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Chapitre3 partie2 Chapitre Fractions rationnelles Partie Décomposition en éléments simples sur R La décomposition en éléments simples sur R est di ?érente de celle sur C On a le théorème suivant Théorème Soit F P Q une fraction rationnelle de R X et soit

Chapitre Fractions rationnelles Partie Décomposition en éléments simples sur R La décomposition en éléments simples sur R est di ?érente de celle sur C On a le théorème suivant Théorème Soit F P Q une fraction rationnelle de R X et soit Q X ?? m X ?? r mr Q Qss la décomposition de Q en produit de facteurs irréductibles dans R X Alors F s ? écrit d ? une manière unique comme somme F E r k mi i ak i X ?? k i sk k j bk j X ck j Qjk o? E est la partie entière de F et les ak i bk j ck j sont des réels Exemple Décomposons en éléments simples sur R la fraction rationnelle F X ?? Comme deg F la partie entière de F est nulle De plus X ?? se factorise dans R X comme suit X ?? X ?? X X Alors la décomposition théorique de F est a b cX d F X ?? X X Remarquons que et ?? sont des pôles simples de F Donc on peut facilement déterminer a et b a b ?? On a limx ? ? xF x a b c donc c En ?n l ? évaluation de F en x permet de calculer d En e ?et F ?? d ?? a b et par suite d ?? Ainsi la décomposition en éléments simples de F sur R est X ?? X ?? ?? X ?? X Techniques de la décomposition en éléments simples Nous avons vu précédemment des méthodes de décomposition en éléments simples Néanmoins certaines techniques permettent de faciliter le travail C CHAPITRE FRACTIONS RATIONNELLES PARTIE Décomposition dans C X d ? une fraction de R X Soit F une fraction rationnelle de R X On considère F comme un élément de C X et on la dé- compose en éléments simples de C X L ? idée de base est que cette décomposition reste invariante par conjugaison Il en résulte que si et sont deux pôles conjugués non réels de F d ? ordre m les parties polaires sont respectivement m ak k X ?? k et m k X ak ?? k Exemple La fraction F X est de partie entière nulle et admet deux pôles simples i et ??i Donc les parties polaires relativement à i et ??i sont respectivement a X ??i et a X i avec a un complexe Par simple calcul on obtient a i Ainsi la décomposition en éléments simples sur C de F est X i X ?? i ?? i X i Utilisation de la parité Si une fraction rationnelle F est paire ou impaire on exploite cette propriété pour réduire le nombre de coe ?cients à calculer dans la décomposition de F En utilisant les transformations x ? F ??x ou x ? ??F ??x pour avoir des relations sur les coe ?cients Exemple Décomposons en éléments simples sur R la fraction F X