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Chapitre 3 calcultensoriel

Chapitre Cours MMC Chapitre Notation indicielle - Introduction générale II est parfaitement possible mais peu commode de présenter la théorie de la mécanique des milieux continus sans faire appel aux tenseurs Dans le cadre de ce cours nous ne donnerons pas de dé ?nition rigoureuse et générale de l'être mathématique appelé tenseur Nous nous contenterons de donner le sens physique des tenseurs dans le cas particulier de l'espace euclidien à trois dimensions en axes cartésiens Dans le cas de la Physique la notion de tenseur est intimement liée à la dé ?nition de la grandeur représentée et à la façon dont cette grandeur se transforme dans un changement de coordonnées - Scalaires vecteurs Scalaires Un scalaire est dé ?ni par un seul nombre et indépendant des axes de référence donc indépendant de toute notion d'orientation Citons parmi les grandeurs scalaires masse densité température volume Vecteurs Par opposition aux scalaires il existe des grandeurs physiques très di ?érentes les vecteurs qui sont inséparables de la notion de direction C'est le cas par exemple d'une force ou de l'intensité du champ électrique le gradient de température en un point Convention de sommation indice muet Considérons la somme s ? a x ? a x ? a x ? ? anxn On peut écrire cette équation dans une forme compacte en utilisant le symbole de sommation n ? s ? ai xi i ? Il est clair que les équations suivantes ont exactement le même sens que la précédente n ? s ? aj x j j ? n ? s ? amxm m ? Les indices i j m sont des indices muets car la somme ne dépend pas de la lettre utilisée Nous pouvons simpli ?er l'écriture de l'équation en adoptant la convention suivante CChapitre Cours MMC Quand un i indice est répété une fois c'est un indice muet indiquant une sommation sur cet indice allant de à n Cette convention est connue comme la convention d'Einstein donc la formule s'écrit en forme compacte On note que Seulement il faut préciser que la convention de sommation est utilisé que si l'indice est répété une fois se n'est pas le cas de la formule suivante n ? s ? aibi xi Qui doit conserver le symbole de sommation i ? Dans ce qui suit on prend souvent n dans par exemple on a ai xi ? a x ? a x ? a x aii ? a ? a ? a aiei ? a e ? a e ? a e La convention de sommation peut aussi être utilisée pour exprimer une double sommation ex on peut écrire ? ? i ? j ? aij xi x j Comme suit aij xi x j L'expression donne une somme de termes c -à-d aij xi x j ? ai xi x ? ai xi x ? ai xi x ? a x x ? a x x ? a x x ? a x x ? a x x ? a x x