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Université JEAN PAUL II, Cycle BTS, Option : Génie-civil Cours de topographie élaboré par M. TJOMB THEODORE PLET/Génie-civil Page 1 CHAPITRE 3 : MESURE DES ANGLES A) Les angles horizontaux I.1) Le cercle horizontal Le cercle horizontal (ou limbe) est la graduation du théodolite sur laquelle l'opérateur lit les angles horizontaux. Il est lié au socle de l'appareil mais peut aussi pivoter sur lui-même de manière à régler le zéro des graduations sur une direction donnée. Il existe plusieurs technologies possibles pour cette mise à zéro : le débrayage de l’entraînement du cercle (T16) ou bien le mouvement par vis-écrou (T2). Fig. 1 : Mesure d’angles horizontaux. Les graduations sont croissantes de 0 à 400 gon dans le sens horaire (en regardant le cercle du dessus, fig.1). Après la mise en station du théodolite, ce cercle est horizontal, ce qui explique que les angles lus soient des angles projetés sur le plan horizontal et appelés angles horizontaux (ou azimutaux), notés Hz. Sur la figure 1, l'appareil est en station sur le point S. L'opérateur vise le point A (sommet du bâtiment) et règle le zéro des graduations sur ce point. En visant le point B, il lit dans le théodolite l'angle horizontal A′ - S′ -B′ (A′, B′, S′ sont les projections de A, B et S sur le plan horizontal passant par l’axe des tourillons de l’appareil). I.2) Le double retournement C’est une manipulation consistant en un demi-tour simultané de la lunette et de l’alidade (fig. 3.20). Cette technique de mesure permet d'éliminer certaines erreurs systématiques (voir § 3) et de limiter les fautes de lecture. Lors d’une mesure d’angle horizontal, cela permet de:  doubler les lectures et donc de diminuer le risque de faute de lecture ;  Ne pas toujours lire sur la même zone du limbe, donc de limiter l’erreur due aux défauts de graduation du limbe ; Université JEAN PAUL II, Cycle BTS, Option : Génie-civil Cours de topographie élaboré par M. TJOMB THEODORE PLET/Génie-civil Page 2  Eliminer les défauts de collimation horizontale et de tourillonnement. L’erreur de centrage sur le point de station et l’erreur de calage de l’axe vertical ne sont pas éliminées par cette manipulation. Il convient donc de soigner ces opérations. Fig. 2 : Double retournement. Pratiquement, on effectue :  Une lecture en cercle gauche (cercle vertical de l'appareil à gauche de l'opérateur, plus généralement en position de référence);  Un double retournement ;  Une nouvelle lecture du même angle en cercle droite (cercle vertical à droite). Si l’on appelle HzCG la valeur lue en cercle gauche, et HzCD celle lue en cercle droit, on doit observer : En effet, le double retournement décale le zéro de la graduation de 200 gon (fig. 2) ; ceci permet un contrôle simple et immédiat des lectures sur le terrain. La différence entre les valeurs HzCG et (HzCD – 200) représente la combinaison des erreurs de collimation, de mise en station, de lecture, etc. L'angle horizontal Hz mesuré vaut alors : Université JEAN PAUL II, Cycle BTS, Option : Génie-civil Cours de topographie élaboré par M. TJOMB THEODORE PLET/Génie-civil Page 3 Remarque : Si l’on n'effectue qu'une seule lecture, elle doit être faite en position de référence (CG sur les théodolites classiques et CD sur la plupart des stations électroniques). II) Calcul de gisement II.1) Définition Le gisement d'une direction AB est l'angle horizontal mesuré positivement dans le sens horaire entre l’axe des ordonnées du système de projection utilisé et cette direction AB (fig. 3). On le note GAB (ou aussi VAB). Mathématiquement, c’est l’angle positif en sens horaire entre l’axe des ordonnées du repère et le vecteur AB.G est compris entre 0 et 400 gon. Par exemple (fig. 3) : GAB est l’angle entre le Nord (ordonnées) et la direction AB. GBA est l’angle entre le Nord et la direction BA. La relation qui lie GAB et GBA est : GBA = GAB + 200 Fig. 3 : Gisement de la direction AB. II.2) Calcul d’un gisement à partir des coordonnées cartésiennes. Considérons les coordonnées de deux points A (EA, NA) et B (EB, NB) (voir fig. 3). La relation suivante permet de calculer GAB : (1) Remarque : Pour obtenir la valeur de G, il faut utiliser la fonction tan–1 ( ) ou inverse tangente. En effet, tan G = tan (200 + G) = tan (G – 200). La calculatrice ne donne donc pas forcément le bon angle G correspondant au problème. Application : Calculez à partir de la formule (1) le gisement de la direction AB suivante : Université JEAN PAUL II, Cycle BTS, Option : Génie-civil Cours de topographie élaboré par M. TJOMB THEODORE PLET/Génie-civil Page 4 A (10 ; 50) et B (60 ; 10) ∆E = EB – EA = +50 ∆N = NB – NA = –40 GAB = tan–1 (50/–40) = –57,045 gon En observant le schéma des points A et B placés sur le graphique ci-contre (fig. 4), on s’aperçoit de l'incohérence de ce résultat. L’angle donné n’est visiblement pas égal à –57,045 gon c’est-à-dire à – 57,045 + 400 = 342,955 gon. Fig. 4. : Calcul de gisement. En fait, la calculatrice donne la valeur de l'angle auxiliaire g (fig. 3.28). Pour obtenir GAB , il faut donc tenir compte de la position du point B par rapport au point A ; on parle de quadrants :  Quadrant 1 : B est à l'est et au nord de A (∆E > 0 et ∆N > 0). GAB = g  Quadrant 2 : B est à l'est et au sud de A (∆E > 0 et ∆N < 0). GAB = 200 + g (avec g < 0) Quadrant 3 : B est à l'ouest et au sud de A (∆E < 0 et ∆N < 0). GAB = 200 + g (avec g > 0)  Quadrant 4 : B à l'ouest et au nord de A (∆E < 0 et ∆N > 0). GAB = 400 + g (avec g < 0) Fig. 5. : Différents quadrants. Université JEAN PAUL II, Cycle BTS, Option : Génie-civil Cours de topographie élaboré par M. TJOMB THEODORE PLET/Génie-civil Page 5 Les valeurs de l’exemple traité précédemment mettent en évidence la nécessité de ce calcul et la vérification de la valeur du gisement de 142,955 gon, correspondant au schéma de la figure 4. II.3) Utilisation du gisement pour les calculs de coordonnées En topographie, il est très fréquent de connaître un point S (ES,NS) et de chercher les coordonnées d’un point P visible depuis S. On dit que P est rayonné depuis S si l’on peut mesurer la distance horizontale DSP et le gisement GSP (fig. 6). Quel que soit le quadrant, on peut alors calculer les coordonnées du point P par les formules suivantes : Fig. 6. : Calcul de coordonnées. A défaut de mesurer directement GSP, on mesure un angle α avec une direction dont le gisement est connu ou bien on calcule un G0 moyen de station (voir III). Application : S (680 379,84 ; 210 257,06) est donné en coordonnées Lambert (m), calculez les coordonnées de P tel que : DSP = 45,53 m et GSP = 172,622 gon. III.) Détermination du G0 moyen de station III.1) Présentation Lors de la mise en station d'un théodolite sur un point S connu en coordonnées Lambert, la position du zéro du limbe est au départ quelconque. S'il désire fixer le repère dans lequel il va travailler, l’opérateur oriente le limbe (cercle horizontal de l’appareil) sur un autre point connu P. Deux cas se présentent alors :  Le point est connu en coordonnées locales : le travail se fait en coordonnées locales. L’opérateur place généralement le zéro du limbe sur le point P et définit ainsi le repère Sxy (fig. 7). Université JEAN PAUL II, Cycle BTS, Option : Génie-civil Cours de topographie élaboré par M. TJOMB THEODORE PLET/Génie-civil Page 6 Fig. 7. : Origine du limbe sur P.  Le point est connu en coordonnées Lambert : il est alors possible de calculer le gisement de la direction SP et l’afficher sur le point P. On définit ainsi le repère SEN de la figure 8. dont les axes sont parallèles au repère Lambert général. L’intérêt de cette deuxième manipulation est de travailler directement en repère Lambert et donc de limiter les calculs intermédiaires. Dans la pratique, on ne bougera pas le limbe de l’appareil. On se contentera de viser le point P et d’en déduire le gisement du zéro du limbe, appelé G0 (fig. 9). Cette orientation peut être faite sur un seul couple de points SP, mais, pour plus de précision, on peut calculer une moyenne sur plusieurs autres points connus bien répartis autour de la station, d’où le terme de G0 moyen de station. Fig. 8. : Origine du limbe sur le nord Lambert. III.2) Calcul du G0 de station. Le G0 de station (noté aussi V0) est une constante d'orientation de la station S uploads/Litterature/ mesure-des-angles-mod.pdf