SUJETS ET CORRIGÉS DE Tous les sujets des concours des prépas économiques et co

SUJETS ET CORRIGÉS DE Tous les sujets des concours des prépas économiques et commerciales HEC – ESSEC – E.M.Lyon – EDHEC – ECRICOME Jean-Louis Roque MATHÉMATIQUES Voie scientifique Institut d'enseignement supérieur privé CONCOURS PRÉCIS C O L L E C T I O N Concours 2007 Précis C Concours C Collection Concours 2007 sujets et corrigés de mathématiques voie scientifique par Jean-Louis Roque Ancien élève de l’École Normale Supérieure Professeur de chaire supérieure au Lycée Pasteur à Neuilly Professeur à Intégrale 3 Avertissement de l’auteur à Emmanuel Crimail Ce manuel contient les corrigés détaillés de la totalité des épreuves de mathéma- tiques de l’option scientifique des concours des classes préparatoires économiques et commerciales de l’année 2007. Les épreuves du cru 2007, à l’instar de celles de l’an dernier, étaient plutôt exigeantes et difficiles.Tout en restant très longues. Comme d’habitude, nous recommandons aux futurs candidats de suivre les quelques conseils suivants: 1. Prendre quelques minutes au début de l’épreuve pour lire, en totalité, l’énoncé. Entendons-nous bien, il ne s’agit pas d’en faire une fiche de lecture mais de le par- courir en vue de: – découvrir tout d’abord les thèmes abordés; – repérer, c’est toujours bon pour le moral, certaines questions et parfois même certaines parties que l’on a déjà traitées pendant sa préparation. Il n’est pas interdit d’avoir vécu! – faire la part des questions faciles, des questions plus fines et enfin des questions « technologiques », c’est-à-dire nécessitant de gros calculs. Il faut savoir jauger l’ennemi! Il est également important de ne pas oublier qu’un énoncé bien lu – il faut parfois savoir lire entre les lignes – donne de nombreuses réponses aux questions posées. 2. Ne pas s’obstiner à vouloir traiter dans l’ordre toutes les questions. Ne pas perdre trop de temps à « sécher » sur une question. Le passage aux questions suivantes donne souvent des pistes à propos des questions précédentes. Il est fondamental de fabriquer rapidement des points et d’avoir, à la mi-temps, un confortable magot. 3. Ne pas bouder les questions de calcul et les questions algorithmiques de Turbo- Pascal plus fréquentes en 2007 qu’auparavant. Le rapport qualité prix est beau- coup plus intéressant qu’on ne le pense. 4. Avoir une rigueur intellectuelle et mathématique à toute épreuve. Il faut être le premier convaincu par ce que l’on écrit. Il ne faut pas oublier les cas, les discus- sions, les plans. Il y a souvent des « facettes » dans nos travaux. Il faut également bannir les fautes grossières – divisions par zéro, manipulations diaboliques des iné- galités, atrocités avec les variables muettes – grandes spécialités des gougnafiers. L’arrêt de lecture existe! Attention également au bluff qui est fortement sanc- tionné. 4 5. Éviter les abréviations. Il faut écrire en français dans sa copie. 6. Ajoutons que certains correcteurs – fort heureusement pas tous – n’apprécient ni l’humour ni les expressions imagées dans un texte mathématique. Bannir par exem- ple le fameux « théorème des gendarmes ». L’auteur de ces lignes plaide coupable sur la nature de ses propres corrigés. Reste donc à recourir au vieil adage: « faites ce que je dis, ne faites pas ce que je fais! » Ceci dit, un peu plus de souplesse de la part des correcteurs ne serait pas forcément mal venue. 7. Compte tenu de ce qui précède, il faut que les futurs candidats adoptent le style le plus impersonnel possible, mais il est important qu’ils aient un style. Une copie de mathématiques doit être agréable à lire, c’est-à-dire non seulement bien présentée – beaucoup trop de copies ressemblent à des brouillons – mais aussi écrite dans un langage clair, concis, sans redondance et sans fautes d’orthographe, où français et symbolique mathématique cohabitent dans une grande harmonie. 8. Enfin, comme le disait le génial mathématicien Niels Enrik Abel (1802-1829), « pour progresser en mathématiques, il faut avant tout écouter ses maîtres ». Nous vous souhaitons un bon et agréable travail. Margauchamfont, 15 mars 2008. Jean-Louis Roque * Qu’il me soit permis d’avoir ici une pensée émue pour mon ami et col- lègue Emmanuel Crimail, récemment disparu, qui a enseigné la littérature avec enthousiasme et passion durant de nombreuses années à Intégrale. 5 SOMMAIRE HEC, première épreuve ......................................................... 7 Inégalité de Le Cam. Méthode de Steele. Exponentielles de matrices. Corrigé.................................................................................... 13 HEC, deuxième épreuve ........................................................ 49 Inégalité de Le Cam. Méthode de Chen-Stein. Barbour and Eagleson. Corrigé.................................................................................... 55 ESSEC, première épreuve..................................................... 77 Étude d’une « Pick function ». L’ordre de Karl Löwner. Stricte monononie matricielle. Corrigé.................................................................................... 84 EM Lyon, première épreuve................................................... 113 La série de Mercator. Une fonction de deux variables. Polynômes orthogonaux. Corrigé.................................................................................... 118 EDHEC, première épreuve .................................................... 139 Équivalent d’intégrale. Les quarternions d’Hamilton. Limite centrée et équivalence. Tirages ésotériques. Corrigé.................................................................................... 145 ECRICOME, première épreuve.............................................. 165 Suites, séries, alternance de Leibniz. Une norme d’algèbre. Loi exponentielle translatée. Likelihood de Fisher. Corrigé.................................................................................... 171 Hec première Inégalité de Le Cam Méthode de Steele Exponentielles de matrices Année Difficulté 2 ¶¶¶ Pour tout entier n sup´ erieur ou ´ egal ` a 2, on note Mn(R) l’espace vectoriel des matrices carr´ ees d’ordre n ` a coefcients r´ eels, I la matrice identit´ e, et Mn,1(R) l’espace vectoriel des matrices ` a n lignes et 1 colonne. On confond Mn,1(R) et Rn. Pr´ eliminaires Soit E un espace vectoriel r´ eel. On appelle norme sur E, toute application ν de E dans R+ v´ eriant : i. ν(x) = 0 si, et seulement si, x = 0 ; ii. pour tout λ r´ eel, pour tout x de E : ν(λx) = |λ|ν(x) iii. pour tout couple (x, y) de E2 : ν(x + y) ⩽ν(x) + ν(y) Montrer que l’application ∥∥∞de Rn ` a valeurs dans R+ d´ enie pour toute colonne : X = ⎡ ⎢ ⎣ x1 . . . xn ⎤ ⎥ ⎦∈Rn 8 Concours 2007 voie scientifique par : ∥X∥∞= max 1⩽i⩽n |xi| est une norme sur Rn. Partie 1 A. Une norme sur Mn(R) 1. Montrer que l’application qui, ` a toute matrice A = (ai,j) de Mn(R), associe le r´ eel : max 1⩽i⩽n  n  j=1 |ai,j| d´ enit une norme sur Mn(R). La norme de A sera not´ ee ||A||. 2.a. ´ Etablir pour tout X de Rn, l’in´ egalit´ e : ||AX||∞⩽||A|| × ||X||∞ b. Montrer qu’il existe un vecteur X0 de Rn, non nul, tel que : ||AX0||∞= ||A|| × ||X0||∞ En d´ eduire que : ||A|| = sup X∈Rn,X̸=0 ||AX||∞ ||X||∞ c. ´ Etablir alors que pour tout couple (A, B) de Mn(R)2 , on a : ||AB|| ⩽||A|| × ||B|| On dit qu’une suite (Am)m⩾0 de matrices de Mn(R) converge vers une matrice A de Mn(R) si : lim m→+∞||Am −A|| = 0 On pose Am = ai,j(m) 1⩽i,j⩽n et A = (ai,j)1⩽i,j⩽n. 3.a. Montrer que (Am)m⩾0 converge vers A si, et seulement si, pour tout (i, j) de [ [1, n] ]2 : lim m→+∞ai,j(m) = ai,j b. Montrer que si (Am)m⩾0 converge vers A et (Bm)m⩾0 converge vers B, alors la suite (AmBm)m⩾0 converge vers AB. 4. Soit A un ´ el´ ement de Mn(R) tel que ||A|| < 1. Hec première 9 a. D´ eterminer lim m→+∞Am. b. Montrer que si λ est une valeur propre r´ eelle de A, alors |λ| < 1. En d´ eduire que les matrices I −A et I + A sont inversibles. c. Montrer que la suite : m  k=0 Ak m converge, et exprimer sa limite en fonction de la matrice A. Soit (Am)m⩾0 une suite de matrices de Mn(R). On dit que la s´ erie de terme g´ en´ eral Am, que l’on notera :  m⩾0 Am converge, si la suite : p  m=0 Am p converge. Dans ce cas, sa limite est not´ ee +∞  m=0 Am 5. On consid` ere dans cette question, une matrice non nulle N de Mn(R) qui v´ erie la propri´ et´ e suivante : il existe un entier p sup´ erieur ou ´ egal ` a 2 tel que : N p = 0 et N p−1 ̸= 0 a. Montrer que la s´ erie :  k⩾0 1 k!N k converge. On note : M = +∞  k=0 1 k!N k b. Montrer que :  X ∈Rn | (M −I)X = 0  =  X ∈Rn | NX = 0  6.a. Soit D une matrice diagonale de Mn(R). Montrer que la s´ erie  k⩾0 1 k!Dk converge. 10 Concours 2007 voie scientifique b. Soit A une matrice de Mn(R) diagonalisable, D une matrice diagonale et P une matrice inversible telles que A = PDP −1. Montrer que la s´ erie :  k⩾0 1 k!Ak converge, et exprimer sa somme : +∞  k=0 1 k!Ak en fonction de P et de : +∞  k=0 1 k!Dk On admet jusqu’` a la n du probl` eme que pour toute matrice A de Mn(R), la s´ erie :  k⩾0 1 k!Ak converge, et on note : uploads/Litterature/ maths-pour-prepa-pdf.pdf

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