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StuDocu is not sponsored or endorsed by any college or university Mathématiques - Notes de cours 1 Réseaux et systèmes informatiques (Université de Sherbrooke) StuDocu is not sponsored or endorsed by any college or university Mathématiques - Notes de cours 1 Réseaux et systèmes informatiques (Université de Sherbrooke) Downloaded by Ahmed Ahmed (ahmed04hamdan@gmail.com) lOMoARcPSD|4136850 INF0706/CYCLE I/SÉRIE01 INF0706. 1.1.7.2 « PROPRIÉTÉ CNEPD » PAGE 1 SÉRIE 01 OBJECTIF PÉDAGOGIQUE : À la fin de cette série, le stagiaire doit être capable d’étudier les systèmes de numérotation et l’algèbre de Boole et de résoudre les problèmes de calcul matériel. COURS DE MATHÉMATIQUES Downloaded by Ahmed Ahmed (ahmed04hamdan@gmail.com) lOMoARcPSD|4136850 INF0706/CYCLE I/SÉRIE01 INF0706. 1.1.7.2 « PROPRIÉTÉ CNEPD » PAGE 2 PLAN DE LA LEÇON : I- LES SYSTÈMES DE NUMÉROTATION 1- Base d’un système de numérotation 2- Les différents systèmes de numérotations 1.1- Système Décimal 1.2- Système Binaire 1.3- Système Octal 1.4- Système Hexadécimal II- CONVERSION D’UNE BASE X À LA BASE 10 − RÉSUMÉ III- CONVERSION ENTRE BASES 1- Conversion Décimal – Binaire 2- Conversion du décimal à une base X 3- Conversion Binaire – Octal –Hexadécimal et vice versa IV- OPÉRATEURS ARITHMÉTIQUES EN BINAIRE 1- Addition 2- Soustraction 3- Multiplication V- DIVISION VI- LA COMPLÉMENTATION 1- Complément à un 2- Complément à deux 3- Soustraction par complément à deux et addition − EXERCICES D’APPLICATION − CORRECTION DES EXERCICES Downloaded by Ahmed Ahmed (ahmed04hamdan@gmail.com) lOMoARcPSD|4136850 INF0706/CYCLE I/SÉRIE01 INF0706. 1.1.7.2 « PROPRIÉTÉ CNEPD » PAGE 3 I- LES SYSTÈMES DE NUMÉROTATION : 1- Base d’un système de numérotation : Nous avons pris l'habitude de représenter les nombres en utilisant dix symboles différents: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 Ce système est appelé le système décimal (déci signifie dix). Il existe cependant d'autres formes de numération qui fonctionnent en utilisant un nombre de symboles distincts. Exemple : Système binaire (bi: deux), Le système octal (oct: huit), Le système hexadécimal (hexa: seize). En fait, on peut utiliser n'importe quel nombre de symboles différents (pas nécessairement des chiffres). Dans un système de numération : le nombre de symboles distincts est appelé la base du système de numération Pour compter des objets et les représenter par des nombres, on utilise des "systèmes de numération", en général "pondérés". 2- Les différents systèmes de numérotations : 1.2- Système Décimal : La base dix est très ancienne. Elle découle d'un choix naturel, dicté par le nombre des doigts des deux mains : Système de numération Base du système Symboles (digits) Poids du digit selon son rang Downloaded by Ahmed Ahmed (ahmed04hamdan@gmail.com) lOMoARcPSD|4136850 INF0706/CYCLE I/SÉRIE01 INF0706. 1.1.7.2 « PROPRIÉTÉ CNEPD » PAGE 4 3 4558 2 , Développement en polynôme d’un nombre dans le système décimal Soit le nombre 2011, ce nombre peut être écrit sous la forme suivante : 2011= 2*10 3 + 0 *102 + 1 *101 + 1 *10 0 2011= 2*1000+ 0 *100 +1 *10+ 1 *1 2011= 2000+ 000+ 10+ 1 Cette forma s’appelle la forme polynomiale Un nombre réel peut être écrit aussi sous la forme polynomiale 1978,265 = 1*103 + 9 *102 + 7 *101 + 8*100 + 2*10-1 + 6*10-2 + 5*10-3 Comptage en décimal • Sur une seule position : 0, 1, 2, 3, 4, 5,….9= 101-1 • Sur deux positions : 00, 01,02, …..,99=102-1 • Sur trois positions 000,001,……,999=103-1 • Sur n positions : minimum 0,.., maximum 10n-1, nombre de Combinaisons 10n Base : 10 Symboles :0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Poids: puissance de 10 Pour le système de numérotation décimal on a : Poids faible Poids fort Partie décimal Partie fractionnelle 567 345 Downloaded by Ahmed Ahmed (ahmed04hamdan@gmail.com) lOMoARcPSD|4136850 INF0706/CYCLE I/SÉRIE01 INF0706. 1.1.7.2 « PROPRIÉTÉ CNEPD » PAGE 5 2.2- Système Binaire : C’est le système utilisé par les ordinateurs pour faire des calculs et communiquer. Dans le système binaire, pour exprimer n’importe quelle valeur on utilise uniquement 2 symboles : {0, 1} (1 0 010 1)2 (1 0010 1 )2 Remarque : Un nombre binaire de 4 bit est appelé quartet. Exemple : 1010 Un nombre binaire de 8 bit est appelé octet. Exemple : 10011110 Un nombre dans la base 2 peut être écrit aussi sous la forme polynomiale. (1110)2 = 1*23 +1*22+ 1*21 +0*20= (14)10 (1110,101)2 = 1*23 +1*22+ 1*21 +0*20+ 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3 = (14,625)10 Pour le système de numération binaire on a : Base : 2 Symboles : 0,1 Poids: puissance de 2 La base Un bit Le Bit du poids fort Le Bit du poids faible Downloaded by Ahmed Ahmed (ahmed04hamdan@gmail.com) lOMoARcPSD|4136850 INF0706/CYCLE I/SÉRIE01 INF0706. 1.1.7.2 « PROPRIÉTÉ CNEPD » PAGE 6 Comptage en binaire : Sur un seul bit : 0, 1 Sur deux bits 4 Combinaisons= 22 Sur trois bits 8 Combinaisons= 23 3.2- Système Octal : Ce système permet d’abréger l’écriture des nombres binaires. 8 symboles sont utilisés dans ce système: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Exemple 1 : (127)8 = 1 * 82+ 2 * 81 +7 * 80 = (87)10 (127,65)8 = 1 * 82+ 2 * 81 +7 * 80+ 6 * 8-1+ 5 * 8-2 = (87,828125)10 Binaire Décimal 00 01 10 11 0 1 2 3 Binaire Décimal 000 001 010 011 100 101 110 111 0 1 2 3 4 5 6 7 Pour le système de numération octal on a : Base : 8 Symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Poids: puissance de 8 Downloaded by Ahmed Ahmed (ahmed04hamdan@gmail.com) lOMoARcPSD|4136850 INF0706/CYCLE I/SÉRIE01 INF0706. 1.1.7.2 « PROPRIÉTÉ CNEPD » PAGE 7 Exemple 2 : Le nombre (1289) 8 n’existe pas dans la base 8 puisque les symboles 8 et 9 n’appartiennent pas à la base. 4.2- Système Hexadécimal : Ce système permet d’abréger l’écriture des nombres binaires. 16 symboles sont utilisés dans ce système:{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, A, B, C, D, E, F} (17)16= 1 * 161 +7 * 160= (23)10 (AB) 16= A * 161 +B * 160= 10 * 161 +11 * 160= (171)10 Hexadécimal Décimal 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15 Pour le système de numération hexadécimal on a : Base : 16 Symboles :0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A ,B ,C,D,E,F Poids: puissance de 16 Downloaded by Ahmed Ahmed (ahmed04hamdan@gmail.com) lOMoARcPSD|4136850 INF0706/CYCLE I/SÉRIE01 INF0706. 1.1.7.2 « PROPRIÉTÉ CNEPD » PAGE 8 II- CONVERSION D’UNE BASE X À LA BASE 10 : Cette conversion est assez simple puisque il suffit de faire le développement en polynôme de ce nombre dans la base X, et de faire la somme par la suite. (1101)2= 1*23 +1*22 +0*21+ 1*20 =(13)10 (1A7)16=1*162+A*161+7*160=1*16+10*16+7*16= 256+160+7=(423)10 (1101,101)2= 1*23+ 1*22+0*21+1*20 +1*2-1+ 0*2-2+ 1*2-3= (13,625)10 (43,2)5= 4*51+ 3*50+ 2*5-1 =20+ 3+ 0,4 =(23,4)10 RESUME : Dans une base X, on utilise X symboles distincts pour représenter les nombres. La valeur de chaque symbole doit être strictement inférieure à la base X. Chaque nombre dans une base X peut être écrit sous sa forme polynomiale. Downloaded by Ahmed Ahmed (ahmed04hamdan@gmail.com) lOMoARcPSD|4136850 INF0706/CYCLE I/SÉRIE01 INF0706. 1.1.7.2 « PROPRIÉTÉ CNEPD » PAGE 9 III- CONVERSION ENTRE BASES : 1- Conversion Décimal – Binaire : Pour passer du décimal vers une le binaire : On divise le nombre à convertir par la base d’arrivée (2). On répète les divisions tant que le quotient est supérieur ou égal à la base (2). Le résultat est donné en lisant le dernier quotient et les restes de la dernière vers la première division. Exemple : convertir 77 en binaire. 7 7 2 1 3 8 2 0 1 9 2 1 9 2 1 4 2 0 2 2 0 1 (77)10 = (1001101)2 Conversion de la base 10 à la base 2 : cas d’un nombre réel Un nombre réel est constitué de deux parties : la partie entière et la partie fractionnelle. La partie entière est transformée en effectuant des divisions successives. La partie fractionnelle est transformée en effectuant des multiplications successives par 2. Lecture du résultat 38 est le quotient de la première division Quotient < à 2. On arrête les divisions. MSB LSB Downloaded by Ahmed Ahmed (ahmed04hamdan@gmail.com) lOMoARcPSD|4136850 INF0706/CYCLE I/SÉRIE01 INF0706. 1.1.7.2 « PROPRIÉTÉ CNEPD » PAGE 10 Exemple1 : (77,625)10 = ( ?)2 Partie Entière=(77)10 = (1001101)2 Partie Fractionnelle = (0,625)10 = (?)2 (0,625)10 = (0,101)2 Donc (77,625)10 = (77,101)2 Exemple 2 : (0,6)10 = ( ?)2 (0,6)10 = (0,1001)2 REMARQUE : Le nombre de bits après la virgule va déterminer la précision. 2- Conversion du décimal à une base X : La conversion se fait en prenant les restes des divisions successives sur la base X dans le sens inverse. Exemple1 : (35)10=(?)3. (35)10=(1022)3. 0,625 * 2 = 1,25 0,25 * 2 = 0, 5 0,5 * 2 = 1, 0 0,6 * 2 = 1 ,2 0,2 * 2 = 0 ,4 0,4 * 2 = 0 ,8 0,8 * 2 = 1 ,6 35 3 uploads/Litterature/ mathematiques-notes-de-cours-1.pdf