Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

MATH ´ EMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection: G. Allaire et M. B

MATH ´ EMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection: G. Allaire et M. Bena¨ ım 53 M AT H ´ E M AT I Q U E S & A P P L I C AT I O N S Comit´ e de Lecture / Editorial Board GR´ EGOIRE ALLAIRE CMAP, ´ Ecole Polytechnique, Palaiseau allaire@cmapx.polytechnique.fr MICHEL BENA¨ IM Math´ ematiques, Univ. de Neuchˆ atel michel.benaim@unine.ch THIERRY COLIN Math´ ematiques, Univ. de Bordeaux 1 MARIE-CHRISTINE COSTA CEDRIC, CNAM, Paris costa@cnam.fr G´ ERARD DEGREZ Inst. Von Karman, Louvain degrez@vki.ac.be JEAN DELLA-DORA LMC, IMAG, Grenoble jean.della-dora@imag.fr JACQUES DEMONGEOT TIMC, IMAG, Grenoble jacques.demongeot@imag.fr FR´ ED´ ERIC DIAS CMLA, ENS Cachan dias@cmla.ens-cachan.fr NICOLE EL KAROUI CMAP, ´ Ecole Polytechnique Palaiseau elkaroui@cmapx.polytechnique.fr MARC HALLIN Stat. & R.O., Univ. libre de Bruxelles mhallin@ulb.ac.be LAURENT MICLO LATP, Univ. de Provence laurent:miclo@latp.univ-mrs.fr HUYEN PHAM Proba. et Mod. Al´ eatoires, Univ. Paris 7 pham@math.jussieu.fr VAL´ ERIE PERRIER LMC, IMAG, Grenoble valerie.perrier@imag.fr DOMINIQUE PICARD Proba. et Mod. Al´ eatoires, Univ. Paris 7 picard@math.jussieu.fr ROBERT ROUSSARIE Topologie, Univ. de Bourgogne, Dijon roussari@satie.u-bourgogne.fr CLAUDE SAMSON INRIA Sophia-Antipolis claude.samson@sophia.inria.fr BERNARD SARAMITO Maths Appl., Univ. de Clermont 2 saramito@ucfma.univ-bpclermont.fr ANNICK SARTENAER Math´ ematique, Univ. de Namur annick.sartenaer@fundp.ac.be ZHAN SHI Probabilit´ es, Univ. Paris 6 zhan@proba.jussieu.fr SYLVAIN SORIN Equipe Comb. et Opt., Univ. Paris 6 sorin@math.jussieu.fr JEAN-MARIE THOMAS Maths Appl., Univ. de Pau Jean-Marie.Thomas@univ-pau.fr ALAIN TROUV´ E CMLA, ENS Cachan trouve@cmla.ens-cachan.fr JEAN-PHILIPPE VIAL HEC, Univ. de Gen` eve jean-philippe.vial@hec.unige.ch BERNARD YCART Maths Appl., Univ. Paris 5 ycart@math-info.univ-paris5.fr ENRIQUE ZUAZUA Matem´ aticas, Univ. Auton´ oma de Madrid enrique.zuazua@uam.es Directeurs de la collection: G. ALLAIRE et M. BENA¨ IM Instructions aux auteurs: Les textes ou projets peuvent ˆ etre soumis directement ` a lun des membres du comit´ e de lecture avec copie ` a G. ALLAIRE OU M. BENA¨ IM. Les manuscrits devront ˆ etre remis ` a l’´ Editeur sous format L AT EX 2e. colin@math.u-bordeaux1.fr Eric Canc s Claude Le Bris Méthodes math matiques en chimie quantique. Une introduction Yvon Maday è é Library of Congress Control Number: 2005938217 Mathematics Subject Classiﬁcation (2000): 35Bxx, 35Jxx, 35Pxx, 49Kxx, 65N25, ISSN ISBN- Springer Berlin Heidelberg New York ISBN- Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation r´ eserv´ es pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destin´ ees ` a une utilisation collective. Toute repr´ esentation, reproduction int´ egrale ou partielle faite par quelque proc´ ed´ e que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefac ¸on sanctionn´ ee par les articles 425 et suivants du Code p´ enal. Springer est membre du Springer Science+Business Media c ⃝Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 springer.com Imprim ´ e en Pays-Bas Imprim´ e sur papier non acide 3141/SPI - 5 4 3 2 1 0 - Eric Canc s cole Nationale des Ponts et Chauss es avenue Blaise Pascal 6-8 77455 Marne-la-Vall e Cedex 02 France e-mail : lebris@cermics.enpc.fr Yvon Maday C.N.R.S. et Université Pierre et Marie Curie B.C. 187, 4 place Jussieu 75252 Paris Cedex 05 France e-mail : 1154-483X 10 3-540-30996-9 13 978-3-540 -3 -30996 Claude Le Bris Publisher Services maday@ann.jussieu.fr 65Z05, 81Q05, 81Q10, 82Bxx é e-mail : cances@cermics.enpc.fr Laboratoire Jacques-Louis Lions è É é Préface Ces notes sont issues de deux cours de DEA. Dès 1996, à l’initiative de l’un d’entre nous (Y. Maday), fut en eﬀet créé au sein du DEA d’Analyse numé- rique de Paris VI un cours de méthodes mathématiques et numériques pour la chimie quantique. Ce cours a été enseigné jusqu’en 2000 par Y. Maday et C. Le Bris, puis par M. Defranceschi et C. Le Bris de 2001 à 2004. Depuis 2005, ce cours est enseigné par G. Turinici et E. Cancès, ce dernier ayant par ailleurs assuré de 1999 à 2004 un cours similaire, plus axé sur les techniques numériques, au sein du DEA Equations aux dérivées partielles et applications de Paris IX. Ces notes s’adressent donc d’abord à des apprentis mathématiciens intéressés par l’analyse non linéaire et prêts à se laisser séduire par la physique mathé- matique. Pour les mathématiciens professionnels souhaitant connaître les motivations de ceux de leurs collègues qui s’intéressent aux aspects mathé- matiques des modèles de Chimie Quantique, ces notes peuvent constituer une introduction à des ouvrages moins élémentaires comme – Handbook of numerical analysis. Volume X : special volume : computa- tional chemistry, C. Le Bris Ed., North-Holland, 2003, qui a pour ambition de dresser l’état de l’art de la connaissance mathématique et numérique sur le front de la recherche dans ce domaine, ainsi que de pré- senter un aperçu des questions posées et des déﬁs pour les années à venir. S’il faut ﬁxer un niveau, disons que ces notes se situent au niveau M du nouveau cycle LMD, et plus précisément au niveau M2. On a aussi ici la prétention de montrer, si la nécessité s’en fait encore sentir, que s’il est fréquent que des questions mathématiques devancent les besoins de la Physique et ne trouvent leur application que longtemps après leur analyse, il n’est pas rare non plus que dans l’étude de problèmes physiques, on puisse isoler des questions mathé- matiques intrinsèquement intéressantes susceptibles de donner naissance à des techniques nouvelles applicables ailleurs. Ainsi, on montrera en particulier que les modèles de Chimie Quantique fournissent un cadre naturel et propice à VI Préface l’exposé de notions et de techniques de base, mais aussi de méthodes de pointe dans le domaine des EDP non linéaires et du calcul variationnel. On ne trouvera pas ici de chapitre préliminaire regroupant l’essentiel des connaissances théoriques prérequises. Quitte à alourdir un peu l’exposé de certaines démonstrations, nous avons préféré introduire les notions une à une, quand elles s’avéraient nécessaires. Bien sûr, est-il besoin de le préciser, nous ne prétendons pas rivaliser sur ces aspects théoriques avec des traités exis- tants qui font référence, ne serait-ce que parce que nous ne donnerons pas les preuves de ces résultats théoriques. Nous nous contenterons de décrire ce que nous croyons être, encore une fois, l’esprit de ces résultats. Si originalité il y a, elle réside exclusivement dans la mise en situation de ces quelques résultats de base. Le lecteur plus savant nous pardonnera, nous l’espérons, cette lourdeur, et ne se privera surtout pas de sauter allègrement ces paragraphes de rappels. Nous traiterons les résultats propres aux modèles de chimie quantique étudiés avec le même caractère volontairement “synthétique”. Plutôt que de nous enfermer dans les détails des preuves, pour lesquels nous renverrons le lec- teur à des articles bien plus complets que ces notes, nous nous attacherons à mettre en lumière les phénomènes et les méthodes. Tout en formant le vœu que le lecteur rigoriste excuse la liberté que nous prenons de privilégier l’esprit plutôt que la lettre. Dans l’optique décrite ci-dessus, la Chimie Quantique n’est donc qu’un pré- texte. Un prétexte pour enseigner les méthodes variationnelles, l’analyse non linéaire, les équations aux dérivées partielles. Mais, on n’oubliera bien sûr pas que la Chimie Quantique est aussi une ﬁnalité en prouvant un certain nombre de résultats précis sur des modèles eﬀectivement utilisés par les praticiens. Le plan que nous suivrons est le suivant. Le premier chapitre est une introduction à la modélisation dans ce domaine. Laissant de côté pour l’instant les aspects mathématiques, il s’attache à dresser le décor dans lequel le reste du livre va évoluer. Il décrit la typologie des princi- paux modèles de Chimie Quantique Moléculaire que nous aborderons. Heuris- tiquement, il cible quelques diﬃcultés mathématiques, qui seront longuement analysées avec rigueur dans les autres chapitres. Nous l’avons constaté, l’obsta- cle naturel pour l’étudiant en mathématiques est souvent le bagage néces- saire, en termes de sciences physiques, pour comprendre, au moins dans leurs grandes lignes, les tenants et les aboutissants de la modélisation. Ici, l’outil essentiel est la Mécanique Quantique. En appui du Chapitre 1, nous avons donc regroupé dans l’Annexe A un rapide exposé des notions essentielles dans ce domaine. Cela va sans dire, cette annexe (comme l’Annexe B dont il sera question ci-dessous) ne se substitue pas à un authentique cours sur le sujet, mais prétend seulement fournir un support d’apprentissage, voire orienter vers les bons ouvrages spécialisés. Avec le deuxième chapitre, nous attaquons les mathématiques. En nous laissant momentanément aller à la facilité d’une formule, nous pourrions dire, à Préface VII l’examen des modèles introduits au premier chapitre, que la Chimie Quantique pourrait être appelée, du point de vue mathématique, le domaine du non : non linéaire, non convexe, non compact. Le Chapitre 2 envisage précisément un cas où un de ces non n’existe pas encore. On traite d’un problème modèle posé sur un ouvert borné, en attendant de lever cette restriction au chapitre suivant (en fait deux des non ont disparu, puisque le modèle est aussi convexe, mais le caractère borné domine ce second caractère). Cette simpliﬁcation per- met de faire le point sur un certain nombre de connaissances mathématiques nécessaires pour aborder le problème général, tout en s’aﬀranchissant des dif- ﬁcultés considérables uploads/Litterature/ math-ematiques-amp-applications-directeurs-de-la-collection-g-allaire-et-m-bena-im.pdf