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Chap 2 gi fonctions logiques gi

EST SAFI ?? Mme O IKHOUANE CHAPITRE FONCTIONS LOGIQUES Dept GI ère Année Dans les automatismes logiques que l'on soit en combinatoire ou en séquentiel on prend en compte on traite et on donne des ordres sous forme binaire ou Les variables logiques qui permettent de traiter ces informations peuvent s'organiser sous forme de fonctions L ? Algèbre de Boole dé ?nit un cadre mathématique d ? étude de ces variables et fonctions Elle permet de traduire des signaux binaires en expressions mathématiques L ? Algèbre de Boole et les fonctions logiques forment donc le support théorique des circuits combinatoires et séquentiels ?? ALGÈBRE DE BOOLE ?? Dé ?nition Considérons un ensemble d'éléments a b c associé à deux lois de composition interne notées respectivement o ? appelée addition o ? appelée produit une opération unaire notée ? lire barre ? et appelée complémentation Formellement cet ensemble et ces opérations constituent une Algèbre de Boole si et seulement si les postulats suivants sont satisfaits P Les opérations sont commutatives a ? b ? b ? a a b ? b a P Chacune des opérations est distributive sur l'autre a ? ??b ? c ?? ? ??a ? b ?? ? c ? a ? b ? c a ??b c ?? ? ??a b ?? c ? a b c P Postulat des éléments neutres Il existe un élément neutre pour l ? addition noté tel que a ? ? ? a ? a Il existe un élément neutre pour le produit noté tel que a ? a ? a P A chaque élément a est associé un élément a tel que a ? a ? a a ? P Postulat d ? Idempotence a ? a ? a a a ? a P Postulat d ? involution Georges BOOLE - mathématicien et philosophe anglais Il publia en un essai sur les raisonnements logiques portant sur les propositions auxquelles les seules réponses possibles sont oui ou non L ? ensemble des opérations découlant de ces propositions forment uns structure mathématique donc une algèbre dénommée Algèbre de Boole ? C a ? a P Postulat de distributivité entre opérations a ??b ? c ?? ? a b ? a c ??a ? b ?? ??a ? c ?? ? a ? b c ?? Théorèmes Une Algèbre de Boole véri ?e les théorèmes ci-dessous T Théorème d ? absorption a ? ? a ? T Théorème de De Morgan a ? b ? a b et par extension a ? b ? c ? ? z ? a b c z a b ? a ? b et par extension a b c z ? a ? b ? c ? ? z ?? Identités remarquables a ? ab ? a a ? a b ? a ? b Redondance ax ? bx ? ab ? ax ? bx ?? Variable booléenne Une variable booléenne est une entité qui prend ses valeurs dans l ? ensemble Par exemple un bouton