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Chap1 exercices correction

Correction des exercices du chapitre Espaces vectoriels Exercice On raisonne par double implication ? Supposons que F G Alors F ?? G F et F G F donc F ?? G F G ?? Supposons que F ?? G F G On va montrer une double inclusion i Soit x ?? F Alors x ?? F G donc x ?? F ?? G donc x ?? G Donc F ? G ii Par symétrie entre F et G on obtient G ? F On a bien F G On raisonne par double implication ? Supposons que F ? G ou G ? F Alors F ?? G G ou F ?? G F Dans les cas F ?? G est un sous-espace vectoriel de E ?? Supposons que F ?? G soit un sous-espace vectoriel de E Supposons par l ? absurde que F G et G F ??y ?? G tel que y ?? F et ??z ?? F tel que z ?? G On a y ?? F ?? G et z ?? F ?? G donc y z ?? F ?? G car sous-espace vectoriel de E Si y z ?? F alors y z ?? z y ?? F Absurde Si y z ?? G alors y z ?? y z ?? G Absurde Donc F G et G F c ? est-à-dire F ? G ou G ? F Espaces vectoriels de dimension ?nie Exercice Soient n ?? N ? et a b ?? C Soit Pk ? k ? n une base de Cn X Montrer que Pk X a ? k ? n l ? est aussi Montrer que X ?? a k X ?? b n ??k ? k ? n est une base de Cn X Exercice On utilise la formule de Grassmann dim H ?? H dim H dim H ??dim H H a H H ? E donc dim H H ? n De plus H ? H H donc dim H H ? n ?? Donc dim H H n ?? ou n b Si dim H H n ?? alors H H H et H H H donc H H ce qui est absurde donc dim H H n Par la formule de Grassmann dim H ?? H dim H dim H ??dim H H n ?? ?? n n ?? a Ils sont de dimension b On va raisonner par l ? absurde Supposons que ?? u v ?? H ? H u ?? H ou v ?? H On a donc H ? H ou H ? H Or ils ont la même dimension donc H H Absurde c Supposons que w u v ?? H ?? H ?? Si w ?? H alors u v ?? u v ?? H Absurde ?? Si w ?? H alors u v ?? v u ?? H Absurde Donc w ?? H ?? H d Posons G Vect w On va montrer que c ? est un