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Barome groupes symetriques pdf

Chapitre GROUPES SYMETRIQUES - page GROUPES SYMÉTRIQUES REPÈRES Historique Rencontré dans bien des situations mathématiques dès qu'il est besoin de permuter les éléments d'un ensemble ?ni l'ensemble Sn a vu sa structure étudiée et nommée le terme groupe fut choisi à cette occasion par Galois en dans son étude de la résolution des équations algébriques La grande diversité de structures de ses sous-groupes le place au c ?ur de l'étude des groupes Il permet notamment d'apporter un éclairage nouveau sur les isométries conservant les polyèdres réguliers solides de Platon Et son sousgroupe An participe à la classi ?cation des groupes simples non commutatifs à la ?n du XXème siècle I GÉNÉRALITÉS STRUCTURE Le groupe symétrique d'un ensemble X est S X o? S X est l'ensemble des bijections de X ? X dites permutations de X À isomorphisme près S X ne dépend que de Card X Le groupe symétrique d'ordre n est Sn o? Sn est l'ensemble des permutations de n Par exemple le groupe linéaire GL E des automorphismes de l'espace vectoriel E est un sous-groupe de S E Dans les anciens manuels Sn est souvent noté n Dans Sn le neutre est l'identité de n qu'on notera Id pour tout n Le composé ? ?' sera noté en général par le produit ? ?' on prendra garde au fait que c'est bien ?' qui agit en premier Sn n ÉLÉMENTS Un élément quelconque ? de Sn sera noté ? ? n ? n Le support de ? est l'ensemble i ?? n ? i ?? i On le note supp ? Pour p ? i i ip désigne la permutation circulaire ou cycle de longueur p ou p-cycle élément ? de Sn tel que ? i i ? i i ? ip i ? j j si j ?? i ip Un -cycle est une transposition On dira souvent qu'un nombre appartient à un cycle au lieu de dire qu'il appartient à son support De même on parlera de cycles disjoints au lieu de cycles à supports disjoints Un p-cycle est d'ordre p Souvent utile si ? i i ip alors ? - est le p- cycle ip ip- i i ? p ?? est un cycle mais pour ? r ? p ?? ? r n'est pas nécessairement un cycle COMMUTATIONS Sn est non commutatif pour n ? ? et ?' à supports disjoints ? et ?' commutent S d'ordre est le groupe non commutatif de plus petit ordre à isomorphisme prés Pour n ? on a Z Sn Id Pour compléter l'étude de la conjugaison voir II il est classique de chercher à préciser les automorphismes intérieurs d'un groupe permet de montrer que pour n ? on a Int Sn ?? Sn Poser Sn ? Int Sn ? l'automorphisme intérieur i ? Sn ? Sn ? Faux pour n Int S Id Voir aussi les VI et ? ? ?- IUFM de La Réunion ?? Frédéric BARÔME CChapitre GROUPES SYMETRIQUES - page II GÉNÉRATIONS DE