FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES QUESTIONS POSEES AUX EXAMENS D'ADMISSION Editio

FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES QUESTIONS POSEES AUX EXAMENS D'ADMISSION Edition 2008-2012 Grande Traverse, 12 – Bâtiment B37 – 4000 Liège Tél. +32-4-366 94 36 – Fax +32-4-366 95 75 – www.ulg.ac.be/facsa Examens de 2008 3 EXAMENS DE 2008 JUILLET 2008 ALGEBRE 1. R´ esoudre l’in´ equation 49x3 +126x2 +44x−24 ≤0 sachant que le polynˆ ome du premier membre admet trois racines r´ eelles en progression arithm´ etique. 2. a) Calculer toutes les racines sixi` emes du nombre complexe i et ´ evaluer la somme de leurs carr´ es. b) Soient n et p deux entiers plus grands que 1. Evaluer la somme des pi` emes puissances des racines ni` emes de i. 3. Les nombres de Catalan1 interviennent fr´ equemment en analyse combinatoire. Pour tout entier naturel n, le nombre cn est d´ efini comme le nombre de mani` eres de placer des parenth` eses dans un produit de n + 1 facteurs ; par exemple, c3 = 5 puisque le produit des quatre facteurs a, b, c et d admet les cinq groupements suivants : a(b(cd)), a((bc)d), (ab)(cd), (a(bc))d et ((ab)c)d. Nous admettons sans d´ emonstration le r´ esultat suivant : cn = 1 n+1C n 2n . (1) D´ emontrer que, pour tout n > 0, on a a) cn = C n 2n −C n−1 2n ; b) (n+1)cn = (4n−2)cn−1 ; c) cn = n−1 ∑ i=0 cicn−i−1. 1Eug` ene-Charles Catalan a ´ et´ e professeur ` a l’universit´ e de Li` ege. 4 Examens de 2008 Suggestion : Il n’est pas n´ ecessaire de raisonner par r´ ecurrence ; l’usage direct de la d´ efinition et du r´ esultat (1) suffit. Notation : L’´ ecriture C p n d´ esigne le coefficient binomial ; c’est le coefficient de degr´ e p dans le d´ eveloppement de (1+x)n. C’est aussi le nombre de sous-ensembles de taille p d’un ensemble de n ´ el´ ements. ANALYSE 1. Soit la fonction f(x) = x+exp −a x  o` u a est un param` etre r´ eel positif ou nul. En discutant en fonction de a s’il y a lieu, a) d´ eterminer le domaine de d´ efinition de f ; b) d´ eterminer les ´ eventuelles asymptotes du graphe de f ; c) d´ eterminer et caract´ eriser les ´ eventuels extrema de f ; d) ´ etudier la concavit´ e du graphe de f et en situer les ´ eventuels points d’inflexion ; e) esquisser le graphe de f. 2. A. Selon la th´ eorie lin´ eaire des vagues en eaux peu profondes, les particules d’eau situ´ ees ` a la surface de la mer et participant ` a la propagation des vagues de p´ eriode T sont anim´ ees d’une vitesse dont les composantes horizontale et verticale sont d´ ecrites respectivement par u(t) = U sin(ωt) et v(t) = 2πHU λ cos(ωt) o` u t d´ esigne le temps, o` u ω = 2π/T est une constante caract´ erisant la pulsation des vagues et o` u U, H et λ sont des constantes strictement positives d´ ecrivant respectivement la vitesse horizontale maximale, la profondeur et la longueur d’onde des vagues. A.1 D´ eterminer le d´ eplacement horizontal x(t) des particules en fonction du temps sachant que celui-ci est donn´ e par x(t) = Z u(t) dt Examens de 2008 5 A.2 D´ eterminer la hauteur des vagues ζ(t) en fonction du temps sachant que celle-ci v´ erifie ζ′(t) = v(t) et Z T 0 ζ(t) dt = 0 o` u T = 2π ω A.3 Calculer l’´ energie cin´ etique moyenne (la composante v de la vitesse est n´ eglig´ ee) ¯ Ecin = 1 T Z T 0 1 2 ρu2(t) dt o` u T = 2π ω et o` u ρ d´ esigne la masse par unit´ e de volume de l’eau. B. On consid` ere maintenant le cas o` u u(t) = U1sin(ωt)+U2sin(4ωt) o` u T = 2π ω (o` u U1 et U2 sont des constantes). Ceci traduit la pr´ esence simultan´ ee de vagues de p´ eriodes T et T/4. Montrer que l’´ energie cin´ etique moyenne correspondante est ´ egale ` a la somme des ´ energies cin´ etiques moyennes associ´ ees aux deux composantes U1sin(ωt) et U2sin(4ωt) consid´ er´ ees s´ epar´ ement. TRIGONOMETRIE ET CALCUL NUMERIQUE 1. Montrer que, dans un triangle ABC, on a toujours cos2A + cos2B + cos2C = −1 −4 cosA cosB cosC 2. R´ esoudre l’´ equation suivante : sinx + sin2x + sin3x = √ 2(1 + cosx + cos2x) Repr´ esenter les solutions sur le cercle trigonom´ etrique. 3. Dans un demi-cercle de rayon R, on trace trois cordes C1, C2 et C3 parall` eles ` a la base rectiligne du demi-cercle. La distance h entre C1 et C2 est ´ egale ` a la distance entre C2 et C3. On mesure C1= 8 m, C2 = 16 m et C3 = 20 m. Quel est le rayon R du demi-cercle ? 6 Examens de 2008 D´ eterminer les angles α1, α2, et α3 repr´ esent´ es sur la figure 1. Donner vos r´ eponses avec 4 chiffres apr` es la virgule. h h a1 a2 a3 C1 C2 C3 R FIG. 1 Demi-cercle de rayon R avec ses trois cordes C1, C2, C3 GEOMETRIE ET GEOMETRIE ANALYTIQUE R´ esoudre trois des cinq questions suivantes. 1. Soit ABC un triangle isoc` ele en A (c’est-` a-dire tel que les cˆ ot´ es [A,B] et [A,C] sont de mˆ eme longueur). On consid` ere deux points E et F distincts situ´ es ` a l’int´ erieur du segment [B,C]. Les parall` eles ` a AB men´ ees par E et par F coupent respectivement [A,C] en G et H. Les parall` eles ` a AC men´ ees par E et F coupent respectivement [A,B] en I et J. a) D´ emontrer que les segments [I,J] et [G,H] sont de mˆ eme longueur. b) Enoncer et d´ emontrer une condition n´ ecessaire et suffisante sur les positions de E et F pour que les droites JG et IH soient parall` eles. 2. On consid` ere un cercle C de centre O et deux droites perpendiculaires d1 et d2 passant par O. On note A une des intersections de d1 avec C et B une des intersections de d2 Examens de 2008 7 avec C . Par A on m` ene une droite variable d qui coupe C en un point M distinct de B. La droite AM coupe d2 en B′ et la droite BM coupe d1 en A′. D´ emontrer que le produit des longueurs des segments [A,A′] et [B,B′] reste constant lorsque d varie. 3. Soit un t´ etra` edre ABCD de l’espace. a) D´ emontrer les relations |− → AB|2 +|− → CD|2 −|− → BC|2 −|− → DA|2 = 2− → AC ·− → DB, |− → AC|2 +|− → BD|2 −|− → BC|2 −|− → DA|2 = 2− → AB·− → DC. b) En d´ eduire que les arˆ etes oppos´ ees d’un t´ etra` edre sont orthogonales si et seulement si les sommes des carr´ es des longueurs de chacune de ses paires d’arˆ etes oppos´ ees sont ´ egales. 4. Dans l’espace, on consid` ere un t´ etra` edre ABCD dont les arˆ etes oppos´ ees sont deux ` a deux de mˆ eme longueur. D´ emontrer que les droites joignant les milieux de deux arˆ etes oppos´ ees sont perpendiculaires deux ` a deux. Suggestion : D´ emontrer d’abord qu’elles sont s´ ecantes. 5. Dans l’espace, on consid` ere un cube ABCDA′B′C′D′, avec − → AA′ = − → BB′ = − → CC′ = − − → DD′ et − → AB = − → DC. On note G le centre de gravit´ e du carr´ e ABCD et K le point d’intersection de la droite A′G et du plan AB′D′. a) D´ eterminer la position de K sur le segment [A′,G]. b) D´ emontrer que K appartient ` a la m´ ediane issue de A du triangle AD′B′. 8 Examens de 2008 SEPTEMBRE 2008 ALGEBRE 1. R´ esoudre dans R l’in´ equation suivante : p x2 +x+1 + p x2 −x+1 ≤ √ 2(x+1) 2. R´ esoudre le syst` eme suivant, dans lequel a est un param` etre r´ eel :    ax − ay + 3az = a+1 (a−1)x + ay + (a+1)z = 2a2 3ax + (3a+1)y + (3a+2)z = 9a+5 3. En ´ evaluant (1 + x2)2n de deux mani` eres diff´ erentes, montrer que, pour tout entier naturel n, on a : C n 2n =  C 0 2n 2 −  C 1 2n 2 +  C 2 2n 2 −···+  C 2n 2n 2 ANALYSE 1. Soit la fonction f d´ efinie par f(x) = e−ax x2 o` u a est un param` etre r´ eel non nul. a) Dans le cas o` u a est une constante strictement positive, i. d´ uploads/Litterature/ exercice-corrige 8 .pdf

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littérature eterminer examens points triangle droite
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