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Universit´ e Hassan II de Casablanca Parcours MIP Facult´ e des Sciences et Tec

Universit´ e Hassan II de Casablanca Parcours MIP Facult´ e des Sciences et Techniques Mohammedia Module M111: Analyse D´ epartement de Math´ ematiques Ann´ ee 2020 - 2021 Dur´ ee: 1heure30min Responsables: A.ABASSI, M.MALIKI Partiel Analyse - 12 Mars 2021 Nom et Pr´ enom................................................................... Exercice 1. Les questions suivantes sont ind´ ependantes. Pour chaque question 4 aﬃrmations sont propos´ ees parmi lesquelles 1 seule est vraie. Pour chaque question, cochez puis expliquez la r´ eponse que vous pensez vraie: 1. Quelle est l’assertion vraie □Le nombre 0.090909... est irrationnel. □l’´ ecriture d´ ecimamle de √ 3 est ﬁnie ou p´ eriodique. □l’´ ecriture d´ ecimale de n n+1, (n ∈N) est ﬁnie ou p´ eriodique. □Un nombre r´ eel qui admet une ´ ecriture d´ ecimale inﬁnie est irrationnel. Explication................................................................................................................................... .............................................................................................................................................. 2. On consid` ere l’ensemble A = { (−1)n n + 2 n, n ∈N∗} □A n′est pas born´ ee □min(A) = 0 et max(A) = 1 □max(A) = 3 2 et min(A) = 0 □inf(A) = 0 et max(A) = 3 2 Explication................................................................................................................................... .............................................................................................................................................. 3. Soit (un)n une suite r´ eelle. Alors □(u3n)n est extraite de (u2n)n □(u2n+1)n est extraite de (u2n)n □(u2n+1)n est extraite de (u2n)n □(u2n)n est extraite de (u2n)n Explication.................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... 4. On consid` ere trois suites r´ eelles (un), (vn) et (wn) telles que: ∀n ∈N, vn ≤un ≤wn, lim n→+∞vn = −1 et lim n→+∞wn = 1. Alors □ lim n→+∞un = 0 □(un)n est born´ ee □∀n ∈N, −1 ≤un ≤1 □(un)n diverge vers + ∞ Explication................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... 5. Soit f la fonction d´ eﬁnie par f(x) = 1 (x−1)2 . On a □f(0) = f(2) donc ∃c ∈]0, 2[ tel que f ′(c) = 0. □f(0) = f(2) donc ∃c ∈]0, 2[ tel que f(c) = 0. □Le th´ eor` eme de Rolle ne s’applique pas ` a f sur [0, 2]. □Le th´ eor` eme de Rolle ne s’applique pas ` a f sur [0, 2] car f(0) ̸= f(2). Explication.................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. 6. Quelle est la d´ eriv´ ee de la fonction f: □f(x) = arcsin(1 −2x2), f ′(x) = 1 √ 1−2x2 □f(x) = arccos(x2 −1), f ′(x) = 2x |x| √ 2−x2 □f(x) = arccos(x2 −1), f ′(x) = 2x √ x2−1 □f(x) = arcsin(1 −2x2), f ′(x) = −2x |x| √ 1−x2 Explication................................................................................................................................... .............................................................................................................................................. Exercice 2. On consid` ere f la fonction de la variable r´ eelle x d´ eﬁnie par: f(x) = 2(x −1) −arctan(x) 1. Montrer que l’´ equation f(x) = 0 admet une racine unique α ∈]1, √ 3[ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 2. Soit (un)n∈N la suite r´ eelle d´ eﬁnie par: ( u0 = 3 2 un+1 = 1 + 1 2arctan(un), ∀n ∈N • En posant g : x 7→1 + 1 2arctan(x), montrer que f(x) = 0 ⇔ g(x) = x. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. • Montrer que 1 ≤un ≤ √ 3, ∀n ∈N .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. • Etudier la monotonie de la suite (un)n. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. • D´ eduire la convergence de la suite (un)n en pr´ ecisant sa limite. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. Exercice 3. Soit f la fonction d´ eﬁnie sur ] −1, 0[∪]0, +∞[ par f(x) = cos(x) −1 ln(1 + x)sh(x) 1. Expliquer ` a quel ordre doit-on ´ ecrire les d´ eveloppements limit´ es de cos(x), ln(1 + x) et sh(x) pour obtenir celui de la fonction f ` a l’ordre 3 au voisinage de 0. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 2. D´ eterminer le d´ eveloppement limit´ e de la fonction f au voisinage de 0, ` a l’ordre 3. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 3. Montrer que la fonction f admet un prolongement par continuit´ e en 0 qu’on note ˜ f. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 4. Etudier la d´ erivabilit´ e de ˜ f en 0. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. On pourra utiliser sans d´ emonstration les d´ eveloppements limit´ es en 0 des fonctions suivantes: ex = 1 + x + x2 2! + x3 3! + ... + xn n! + xnε(x) cosx = 1 −x2 2! + x4 4! + ... + (−1)n x2n (2n)! + x2nε(x) ln(1 + x) = x −x2 2 + x3 3 + ... + (−1)n−1 xn n + xnε(x) uploads/Litterature/ epreuve-mars-2021 1 .pdf