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FaST 2021-2022 Examen 2 Algèbre (2H) EXAMEN 2 1. Déﬁnissez les termes suivants

FaST 2021-2022 Examen 2 Algèbre (2H) EXAMEN 2 1. Déﬁnissez les termes suivants : Systèmes équivalents, Opérations sélémentaires, Matrices ligne-équivalentes, matrice échelonnée et réduite sur ses lignes, matrice de permutation, matrice élémentaire, endomorphisme, isomorphisme et automorphisme. 2. Considérons la permutation (642135). Quelle est sa matrice correspondante ? Déterminer la parité de cette permutation. 3. Considérons la matrice suivante A =   1 2 1 6 −1 3 2 −3 4  . (a) Calculer adj(A). (b) En déduire la matrice inverse A−1. 4. Montrer que l’ensemble M3(Q) dans Q est un Q−ev. 5. Soient E un K−ev et F1, F2 et F3 des sev de E. Démontrer les propositions suivantes : (a) F1 ⊂F2 = ⇒F1 ∩F3 ⊂F2 ∩F3. (b) F1 ⊂F2 = ⇒F1 + F3 ⊂F2 + F3. 6. Soit m un nombre réel et f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est A =   1 0 1 −1 2 1 2 −m m −2 m  . (a) Quelles sont les valeurs propres de f ? (b) Pour quelles valeurs de m l’endomorphisme f est-elle diagonalisable ? (c) On suppose m = 2, calculer Ak, pour tout k ∈N. 7. Considérons deux sev F1 et F2 de R4 engendrés respectivement par {v1, v2} et {w1, w2} avec v1 = (1, −1, 0, 2), v2 = (2, 1, 3, 1), w1 = (1, 1, 1, 1), w2 = (3, −4, 4, 2). Déterminer une base de F1 ∩F2. 8. Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels λ, a, b, c, d le système :          (1 + λ)x + y + z + t = a x + (1 + λ)y + z + t = b x + y + (1 + λ)z + t = c x + y + z + (1 + λ)t = d. Enseignant: M. Pagdame TIEBEKABE 1 LPOA 2021-2022 uploads/Litterature/ epreuve-2-lpoa.pdf