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Applications aux edp essa alger

École Supérieure des Sciences Appliquées d ? Alger Introduction aux EDP Nassim SIAD n siad g essa-alger dz Contents Dé ? nitions générales EDP linéaire Classi ? cation des EDP linéaires d ? ordre I EDP linéaire d ? ordre L ? équation de transport Rappel sur l ? intégration des champs de vecteurs Méthode de résolution Méthode des charactéristiques Facteur intégrant Comment trouver le facteur intégrant II EDP linéaire d ? ordre L ? équation de la chaleur Conditions initiales Conditions aux bords L ? équation de la chaleur avec conditions initiales et aux bords de Dirichlet Résolution du problème avec conditions aux bords ho- mogènes L ? équation de la chaleur avec conditions initiales et aux bords de Neumann EDP hyperbolique l ? équation d ? onde Résolution par séparation des variables C EDP elliptique L ? opérateur de Laplace Conditions aux bords Principe du maximum pour les fonctions harmoniques Propriété de la moyenne Problème de Dirichlet sur un rectangle avec conditions homogènes Problème de Dirichlet sur un disque Résolution du problème de Dirichlet sur le disque III Exercices Dé ? nitions générales Dé ? nition Une équation aux dérivées partielles EDP est une équation incluant une fonction u D R R R ainsi que ses dérivées partielles u u u u u u N u F u x y z x y x z x xi yj zk x y z E pour une certaine fonction F L ? entier N est l ? ordre de E c ? est le plus grand nombre de dérivations sur u Exemple u t u u x est une EDP d ? ordre Exemple L ? équation de Laplace u u x u y u z est d ? ordre EDP linéaire Dé ? nition L ? EDP E sera dite linéaire si on peut l ? écrire sous la forme Lu f EL o? f x y z est une fonction donnée et L est un opérateur di érentiel linéaire L a u b v a Lu b Lv a b R L ? équation linéaire EL sera dite homogène lorsque f et inhomogène sinon Exemple L ? opérateur de l ? exemple n ? est pas linéaire L u v Lu Lv Exemple L ? opérateur de Laplace est linéaire a u b v a u b v les EDP des exemples et sont linéaires la première est homogène la seconde inohomogène On veut décrire l ? espace des solutions S d ? une EDP linéaire Lu f ELI on distingue le cas homogène du cas inhomogène C Solution homogène on considère l ? équation homogène Lu ELH si u u sont deux solutions alors leur combinaison linaire est aussi une solution R L u u Lu Lu c ? est le principe de superposition ou encore l ? espace des solutions de ELH est un espace vectoriel Sh Le cas inhomogène si on connait une solution particulière u de ELI l ? espace des solutions est S