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Introduction C’est à l’absence d’ouvrages pédagogiques sur la mécanique des mil

Introduction C’est à l’absence d’ouvrages pédagogiques sur la mécanique des milieux continus et l’élasticité à l’Ecole Polytechnique de Masuku que cette polycopie a été rédigée pour les élèves du cycle ingénieur de cette Ecole. Le contenu de cette polycopie reprend les cours de mécanique des milieux contenus et d’élasticité que j’ai reçus pendant ma formation à l’Unité d’Enseignement et de Recherche de Mathématiques Pures et Appliquées au département de mécanique de l’Université des Sciences et Techniques de Lille I et du cours d’Elasticité que je dispense à l’Ecole Polytechnique de Masuku. L’étude de l’élasticité dans les écoles d’ingénieur en génie mécanique et en génie civil a pour but le dimensionnement. Or la compréhension de la théorie de l’élasticité nécessite une maitrise du cours sur le calcul tensoriel comme le calcul torsoriel l’est pour la mécanique des milieux indéformables. Malgré le temps alloué, vu le nombre important d’enseignements dispensés dans les études du Génie, il fallait introduire les notions de calcul tensoriel pour aboutir aux opérateurs différentiels utilisés dans l’écriture des lois de comportement des matériaux et de la physique. L’étude du comportement mécanique d’un matériau nécessite la connaissance de la déformation de ce matériau sous l’effet des sollicitations extérieures. La déformation est à l’origine de la destruction du matériau lorsqu’elle dépasse un certain seuil, « valeurs admissibles ». Il est donc nécessaire pour le dimensionnement d’une pièce mécanique ou d’un ouvrage, de calculer ces déformations. Plusieurs méthodes sont utilisées pour calculer les déformations, dans le domaine du Génie, nous citerons essentiellement la résistance des matériaux et l’élasticité. Le dimensionnement de certains éléments de machines, arbres, plaques et coques, ou de génie-civil, barrage poids, poutre, dalle, peut être effectué grâce à la théorie de l’Elasticité. La formulation d’un problème d’Elasticité ou de mécanique des milieux continus déformables nécessite le choix d’un repère et d’un système de coordonnées adaptés. En dehors du repère orthonormé direct et du système de coordonnées cartésiennes classiques, il existe d’autres systèmes de coordonnées. Il faut donc apprendre à traiter les problèmes géométriques liés à l’espace en utilisant n’importe lesquels des systèmes de coordonnées. La présente polycopie est organisée ainsi qu’il suit : Le premier chapitre traitera de manière succincte du calcul tensoriel et l’accent sera mis sur le calcul des opérateurs tensoriels qui sont le gradient, la divergence, le rotationnel et le Laplacien. Dans le deuxième chapitre, nous traiterons du tenseur des contraintes. Les milieux continus déformables sont soumis à des forces microscopiques qui sont à l’origine de leurs déformations. L’intensité de ces efforts dépend des efforts extérieurs qui sont appliqués au matériau. Pour les mécaniciens, tous ces efforts microscopiques sont représentés par le tenseur des contraintes qui est une grandeur locale. On peut dire que chaque particule dans la matière a sa propre histoire de déformation et cette histoire influe sur les autres particules. 1 Au troisième chapitre, on effectue l’étude du tenseur des déformations. Sous l’action des efforts extérieurs et intérieurs et à l’apport calorifique, un matériau se déforme. Cette étude sera faite indépendamment des causes qui les produisent. Dans le quatrième chapitre, les lois générales de la mécanique des milieux continus et de la thermoélasticité ainsi que les trois types de problèmes d’élasticité sont abordés. Il s’agit de : - Calculer le champ de déplacement lorsque l’on connait les efforts appliqués au solide ; - Calculer les efforts appliqués en connaissant le champ de déplacement ; - Calculer les efforts appliqués et les déplacements sur une autre partie du solide lorsque l’on connait les déplacements et les efforts sur une autre partie du solide. Ce problème est appelé problème mixte. Enfin, la théorie de l’élasticité bidimensionnelle sera présentée en vue de montrer comment le calcul variationnel est utilisé pour dimensionner des problèmes complexes comme les plaques et les coques. Cette polycopie est mise à la disposition des élèves pour les aider à approfondir les enseignements sur l’Elasticité dispensés à l’Ecole et surtout à manipuler correctement les opérateurs différentiels utilisés en physique des solides. Dr Samuel IKOGOU 2 Chapitre I les tenseurs I-1 Généralités La formulation d’un problème de mécanique de solide déformable ou indéformable nécessite le choix d’un repère et d’un système de coordonnées adaptés. Il faut ensuite déterminer la relation qui lie le déplacement à l’effort qui est à l’origine de ce déplacement ou encore la relation déformation-contrainte dans le cas des matériaux déformables. Cette relation fait souvent intervenir des équations différentielles. Parmi ces équations différentielles figurent des opérateurs différentiels qui sont le gradient de vecteurs, la divergence, le rotationnel et le Laplacien. I-1-1 Repère Dans un espace ponctuel En, on appelle repère, l’ensemble d’un point O de En appelé origine du repère et d’une base ⃗ e1,⃗ e2,...., {⃗ en¿ de l’espace vectoriel associé. On notera ainsi un repère R=(O; ⃗ ei ). On appelle espace ponctuel En de dimension n, un ensemble dont les éléments sont des points. A partie de ces points, on peut construire des vecteurs. I-1-2 Expression d’un vecteur Un vecteur ⃗ x d’un espace vectoriel s’exprimera par définition comme une combinaison linéaire de la base considérée. ⃗ x=x1⃗ e1+x2⃗ e 2+...+xn⃗ en Dans la relation définissant le vecteur ⃗ x , une sommation est effectuée sur un indice figurant en position supérieure dans la composante contravariante et le même indice figurant en position inférieure et caractérisant l’un des n vecteurs de la base de l’espace vectoriel. Afin d’alléger les notations, sauf avis contraire, Einstein a proposé la convention d’écriture suivante : ⃗ x=x i⃗ ei i=1, 2, ..., n. Par définition, un indice doublé sur lequel on effectue une convention d’Einstein est appelé indice muet. Le nom donné à cet indice importe peu. I-1-3 Espace vectoriel euclidien Un espace vectoriel sur lequel est définie la loi de composition interne appelé produit scalaire est par définition un espace vectoriel euclidien. Soient deux vecteurs ⃗ x=xi⃗ ei et ⃗ y=y j⃗ e j , le produit scalaire de ces deux vecteurs s’écrit : ⃗ x.⃗ y=(xi⃗ ei).(y j⃗ e j)=xi y j(⃗ ei.⃗ e j) i=1, 2,..., n et j=1, 2,..., n. On pose ⃗ ei.⃗ e j=gij Compte tenu de la commutativité ⃗ ei.⃗ e j=gij=⃗ e j.⃗ ei=g ji Les composantes gij sont celles d’une matrice g que l’on peut écrire sous la forme suivante : 3 [g ]=( g11 g12... g1 n g21 g22... g2 n gn1 gn 2... gnn) =( ⃗ e1.⃗ e1 ⃗ e1.⃗ e2... ⃗ e1.⃗ e n ⃗ e2.⃗ e1 ⃗ e2.⃗ e2... ⃗ e2.⃗ en ⃗ en.⃗ e1 ⃗ en.⃗ e 2... ⃗ en.⃗ e n) Le déterminant de g n’est jamais nul. Dans un espace vectoriel euclidien le produit vectoriel de deux vecteurs ⃗ x et {⃗ y¿ s’écrit : ⃗ x.⃗ y=gij x i y j . Dans cette relation, il y’a deux indice muets i et j. il y a donc deux conventions d’Einstein à effectuer. Dans un espace vectoriel euclidien, on appelle norme d’un vecteur ⃗ x le produit scalaire du vecteur ⃗ x par lui-même. ‖⃗ x‖=gij x i x j Un vecteur dont la norme est égale à 1 est appelé vecteur unitaire ou vecteur normé. I-1-4 Composantes covariantes Par définition, on appelle composantes covariantes du vecteur ⃗ x les n produits scalaires ⃗ x.⃗ ei On note : xi=⃗ x .⃗ ei i=1, 2,..., n. I-1-5 Relations entre les composantes contravariantes et covariantes xi=⃗ x .⃗ ei=x j⃗ e j⃗ ei= x j⃗ ei⃗ e j=x j⃗ e j⃗ ei=gijx j I-1-6 Repère dual Formons la matrice carrée de g dont les composantes sont gij . Sachant que le déterminant de g est non nul, la matrice g est donc inversible et les composantes de la matrice inverse de g sont g ij . On pose donc [g ] −1=[gij] L’élément g ij de la matrice inverse de g a pour expression : gij= cof gij det g Où cof g ij est le cofacteur de chacun des éléments de la matrice transposée et det g est le déterminant de la matrice g. Par définition, on pose : g ij=⃗ e i.⃗ e j On appelle repère dual, le Repère R*=(O ; ⃗ e i ) ayant la même origine que R=(O; ⃗ ei ) et dont les vecteurs de base ⃗ e i sont tels que leurs produits scalaires ⃗ e i.⃗ e j sont les éléments de la matrice inverse de g. Dans un repère dual, un vecteur s’écrit : 4 ⃗ x=xi⃗ ei i=1, 2,..., n. L’indice i est muet et la convention d’Einstein s’applique ici. La composante contravariante devient : x i=⃗ x .⃗ e i i=1, 2,..., n. Dans le repère dual, la relation entre la composante covariante et contravariante est : x i=⃗ x .⃗ e i=x j⃗ e j.⃗ e i=x jg ij i,j=1, 2,..., n. I-1-7 Relation entre les vecteurs de base d’un repère et de son dual Dans le repère R=(O; ⃗ ei ) un vecteur s’écrit : ⃗ x=xi⃗ ei et sa composante covariante est xi=⃗ x .⃗ ei . Dans le repère R*=(O; uploads/Litterature/ chap1.pdf