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Alea info L ? aléatoire et les ordinateurs Pierre-André Zitt janvier Random number generation is too important to be left to chance R Coveyou Any one who considers arithmetical methods of producing random digits is of course in a state of sin J von Neuman

L ? aléatoire et les ordinateurs Pierre-André Zitt janvier Random number generation is too important to be left to chance R Coveyou Any one who considers arithmetical methods of producing random digits is of course in a state of sin J von Neumann Objectifs ?? Comprendre les objectifs de la génération de nombres aléatoires ?? Comment tester un générateur ?? Comprendre l ? exemple du générateur linéaire Introduction l ? expérience du nombre de séries On demande à N personnes de simuler ? tirages de pile ou face successifs Question pratique Le tirage est-il raisonnable Ressemble-t-il à ce qu ? on obtiendrait en lançant une pièce équilibrée fois de suite Pour répondre à cette question on peut Choisir une certaine quantité dépendant des tirages nombre de piles longueur de la première série de piles nombre de séries Calculer sa distribution théorique quand les tirages proviennent de pile ou face équilibrés consécutifs Comparer la distribution théorique et la distribution observée Prenons un exemple simple Pour i N on note Li la longueur de la plus longue suite de piles consécutifs dans le tirage proposé par la ie personne pour le tirage FPPPFPFPPFPPFPF par exemple la plus longue suite est de longueur La quantité Li prend ses valeurs entre et Si le tirage provient d ? une pièce équilibrée on peut déterminer la loi de Li en calculant les probabilités d ? obtenir chaque valeur On obtient le tableau suivant ? ? P L CQuestion mathématique Comment comparer la distribution observée et la distribution théorique Le meilleur résultat serait obtenu en utilisant un test statistique d ? adéquation comme le test du ? En première approche remarquons simplement que d ? après le tableau il y a une probabilité p ?? que la plus longue suite soit de longueur inférieure ou égale à Cette proportion est-elle respectée sur les N individus modulo les ucutations d ? échantillonage On note Xi si Li ? Xi sinon et Sn Xi Si les tirages sont parfaits Xi suit une loi de Bernoulli de paramètre p Soit un niveau de risque par exemple et z le quantile d ? ordre ?? de la loi normale si Z suit une loi normale alors P Z ? z ?? Théorème ?? Un intervalle de uctuation Soit e z p ?? p N Alors P SN N ?? p ?? e p e ?? ?? Application numérique pour N personnes on trouve les intervalles suivants Intervalle sur les proportions Intervalle sur les e ?ectifs Autrement dit dans des cas au moins tirages sur les donnent une série de longueur supérieure ou égale à Dans des cas au moins tirages sur les sont dans ce cas En pratique les êtres humains ont tendance à produire des suites trop réparties ? en équilibrant trop les piles et les faces en les alternant trop souvent ?? Nous sommes de très mauvais générateurs de nombres aléatoires ?? ce manque de qualité peut se mettre en évidence par des tests statistiques Pourquoi l ?