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Université Chouaïb Doukkali Faculté des Sciences Département de Mathématiques

Université Chouaïb Doukkali Faculté des Sciences Département de Mathématiques Structures Algébriques Responsable : A. Haïly Structures Algébriques : Groupes et Anneaux Table des matières 1 Structure de Groupe 3 1.1 Monoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Groupes, les premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Exemples importants de Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Produit direct d'une famille de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7 Sous-groupe engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.8 Groupes monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.9 Classes modulo un sous-groupe et Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Groupes quotients et Théorèmes d'isomorphisme 10 2.1 Sous-groupes distingués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Les théorèmes d'isomorphisme et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Application aux espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Le Groupe diédral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Opération des groupes 15 3.1 Dé nitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Orbites et stabilisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Equation aux classes et Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4 Le théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.5 Le théorème de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.6 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.7 Complément : Classes de conjugaison dans Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Anneaux et Corps 21 4.1 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Eléments réguliers, éléments inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3 Sous-anneaux et morphismes d'anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.4 Idéaux d'un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.5 Anneau quotient et théorèmes d'isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.6 Notion de Corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.7 Corps de fractions d'un anneau intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.8 Anneau produit et Théorème des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.9 Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.10 Complément : Caractéristique d'un anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5 Anneaux de polynômes 28 5.1 Anneau de polynômes à coe cients dans un anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.2 Anneaux de polynômes à plusieurs indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.3 Polynômes homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ algebre-6.pdf