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4e - Mathématiques 2021-2022 ABIDI FARID Cours Page 1 / 11 Cours ❄ 4e Cours 9 : Probabilités (1) 1 Rappels 1.1 Opérations sur les évènements Soit Ωl’univers associé à une expérience aléatoire, A et B deux évènements — L’évènement « A ne s’est pas réalisé » est l’évènement contraire de A noté A. — L’évènement « au moins un des évènements A ou B s’est réalisé » est l’évènement « A ou B » noté A ∪B. — L’évènement « les évènements A et B se sont réalisés » est l’évènement « A et B » noté A∩B. — Deux évènements qui ne peuvent pas être réalisés en même temps sont incompatibles. On a alors A ∩B = ∅. Les évènements A et A sont incompatibles. 1.2 Loi de probabilité Ωdésigne un univers de n éventualités {e1,e2,...,en}. — Déﬁnir une loi de probabilité P sur Ω, c’est associer, à chaque évènement élémentaire ei un nombre réel p(ei) = pi de l’intervalle [0;1], tel que : n X i=1 p(ei) = p1 + p2 + ··· + pn = 1 — La probabilité d’un évènement A, notée p(A), est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constituent. 1.2.1 Propriétés Soit Ωun univers ﬁni sur lequel est déﬁnie une loi de probabilité. 1 Pour tout évènement A, p(A) = 1 −p(A). 2 Si A et B sont deux évènements p(A ∪B) = p(A) + p(B) −p(A ∩B) 1.3 Équiprobabilité Soit Ωun univers ﬁni de n éventualités. Si tous les évènements élémentaires ont la même proba- bilité c’est à dire, si p(e1) = p(e2) = ··· = p(en) = 1 n, alors l’univers est dit équiprobable. On a alors pour tout évènement A, p(A) = nombre des issues favorables à A nombre des issues possibles = card(A) card(Ω) Notation : Soit E un ensemble ﬁni, le cardinal de E noté card(E) est le nombre d’éléments de l’ensemble E. exemple www.newotnscience.com www.newotnscience.com 4e - Mathématiques 2021-2022 ABIDI FARID Cours Page 2 / 11 Cours ❄ 4e On lance deux dés équilibrés. Quel est l’évènement le plus probable A « la somme des nombres obtenus est égale à 7 » ou B « la somme des nombres obtenus est égale à 8 » ? Si on s’intéresse à la somme des deux dés, l’univers est Ω= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} mais il n’y a pas équiprobabilité car chaque évènement élémentaire n’a pas la même probabilité : 2 = 1 + 1 alors que 5 = 1 + 4 ou 5 = 2 + 3. On se place dans une situation d’équiprobabilité en représentant une issue à l’aide d’un couple (a,b) où a est le résultat du premier dé et b le résultat du second dé. L’univers Ωassocié à cette expérience est l’ensemble des couples formés avec les éléments de {1,2,3,4,5,6}. Les dés étant équilibrés, il y a 62 = 36 résultats équiprobables. 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) L’évènement A est l’ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 7. D’où p(A) = 6 36 = 1 6. L’évènement B est l’ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 8. D’où p(B) = 5 36. L’évènement le plus probable est A. 2 Probabilités conditionnelles La notion de probabilité conditionnelle intervient quand pendant le déroulement d’une expérience aléatoire, une information est fournie modiﬁant ainsi la probabilité d’un évènement. 2.1 Déﬁnition Soient A et B deux évènements d’un même univers tel que p(A) , 0. La probabilité conditionnelle de l’évènement B sachant que l’évènement A est réalisé se note pA(B) et on a : pA(B) = p(A ∩B) p(A) Remarque : Si p(B) , 0 on déﬁnit de même pB(A) = p(A ∩B) p(B) . exemple Une usine produit des articles en grande quantité, dont certains sont défectueux à cause de deux défauts possibles, un défaut de fabrication ou un défaut d’emballage. Une étude statistique a permis de constater que 12% des articles sont défectueux, 6% des articles ont un défaut de fabrication et 8% des articles ont un défaut d’emballage. Un article choisi au hasard présente un défaut d’emballage. Quelle est la probabilité qu’il ait aussi un défaut de fabrication ? Notons F l’évènement « un article prélevé au hasard présente un défaut de fabrication » et E l’évè- nement : « Un article prélevé au hasard présente un défaut d’emballage ». 4e - Mathématiques 2021-2022 ABIDI FARID Cours Page 3 / 11 Cours ❄ 4e — 12% des articles ont a un défaut de fabrication ou un défaut d’emballage d’où p(F ∪E) = 0,12. — 6% des articles ont un défaut de fabrication et 8% des articles ont un défaut d’emballage d’où p(F) = 0,06 et p(E) = 0,08. La probabilité qu’un article ait les deux défauts est : p(F ∪E) = p(F) + p(E) −p(F ∩E) d’où p(F ∩E) = 0,08 + 0,06 −0,12 = 0,02 La probabilité qu’un article ayant un défaut d’emballage ait aussi un défaut de fabrication est pE(F) = p(F ∩E) p(E) = 0,02 0,08 = 0,25 La probabilité qu’un article ayant un défaut d’emballage ait aussi un défaut de fabrication est égale à 0,25. 2.2 Formule des probabilités composées La relation déﬁnissant la probabilité conditionnelle peut s’écrire de la manière suivante p(A ∩B) = pA(B) × p(A) Cette écriture s’appelle la formule des probabilités composées Soient A et B deux évènements d’un même univers tels que p(A) , 0 et p(B) , 0. Alors : p(A ∩B) = pA(B) × p(A) = pB(A) × p(B) exemple 85 % d’une population est vaccinée contre une maladie. On a constaté que 2% des individus vaccinés n’ont pas été immunisés contre cette maladie. Quelle est la probabilité qu’un individu soit vacciné et malade ? Soit V l’évènement : « Un individu est vacciné » et M l’évènement : « Un individu est malade » ; Nous avons p(V ) = 0,85 et pV (M) = 0,02. La probabilité que parmi cette population, une personne soit vaccinée et malade est : p(V ∩M) = 0,02 × 0,85 = 0,017 3 Formule des probabilités totales 3.1 Cas de deux évènements Si A est un évènement de Ωtel que p(A) , 0 et p(A) , 1, alors pour tout évènement B de Ω p(B) = p(A ∩B) + p(A∩B) = pA(B) × p(A) + pA(B) × p(A) Preuve : Les évènements A∩B et A∩B sont incompatibles et B = (A ∩B)∪ A ∩B d’où p(B) = p(A ∩B) + p(A ∩B) D’après la formule des probabilités composées p(B) = pA(B) × p(A) + pA(B) × p(A) A A B ∩A B ∩A 4e - Mathématiques 2021-2022 ABIDI FARID Cours Page 4 / 11 Cours ❄ 4e 3.2 Partition Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et {A1, A2, ..., An} un ensemble d’évènements de probabilités non nulles d’un même univers Ω. A1, A2, . . . , An forment une partition de l’univers Ωsi, et seulement si, tout évènement élé- mentaire de Ωappartient à l’un des évènements Ai et à un seul. C’est à dire si, et seulement si, 1 Pour tous entiers i et j tels que 1 ⩽i ⩽n, 1 ⩽j ⩽n et i , j, Ai ∩Aj = ∅. 2 A1 ∪A2 ∪··· ∪An = Ω. Remarques : — Un évènement A de probabilité non nulle et son évènement contraire A forment une partition de Ω. — Si les évènements A1, A2, ··· , An forment une partition de Ωalors n X i=1 p(Ai) = p(A1) + p(A2) + ··· + p(An) = 1 3.3 Formule des probabilités totales Soit n un entier supérieur ou égal à 2 si {A1, A2, ..., An} est une partition de Ωalors pour tout évènement B de Ω, p(B) = p(A1 ∩B) + p(A2 ∩B) + ··· + p(An ∩B) Exemple Le parc informatique d’une entreprise est constitué d’ordinateurs de marques A, B ou C référencés au service de maintenance. 60% des ordinateurs sont de la marque A et parmi ceux-ci, 15 % sont des portables. 30 % des ordinateurs sont de la marque B et 20 % d’entre eux sont des portables. Les autres ordinateurs sont de la marque C et 50 % d’entre eux sont des portables. On consulte au hasard la ﬁche d’un ordinateur, quelle est la probabilité que ce soit la ﬁche d’un ordinateur portable ? Notons S l’évènement : « la ﬁche est celle d’un ordinateur portable » Les évènements A, B et C forment une partition de l’univers alors d’après la formule des probabilités totales : p(S) = p(A ∩S) + p(B ∩S) + p(C ∩S) = pA(S) × p(A) + pB(S) × p(S) + pC(S) × p(S) = 0,15 × 0,6 + 0,2 × 0,3 + 0,5 × 0,1 = 0,2 La probabilité que ce uploads/Litterature/ 4e-cours10-probabilites.pdf