Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Dans tout ce chapitre K dé

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Dans tout ce chapitre K désigne R ou C. I - Rappels de maths sup et compléments 1) Matrices semblables Définition 1. Soit (A, B) ∈(Mn(K))2. La matrice A est semblable à la matrice B si et seulement si il existe P ∈GLn(K) telle que B = P−1AP. Théorème 1. La relation « A est semblable à B » est une relation d’équivalence sur Mn(K). Démonstration. Réflexivité. Soit A ∈Mn(K). La matrice In est inversible et A = I−1 n AIn. Donc, il existe P ∈GLn(K) telle que A = P−1AP ce qui montre que A est semblable à A. Symétrie. Soit (A, B) ∈(Mn(K))2. Supposons A semblable à B. Alors, il existe P ∈GLn(K) telle que B = P−1AP. On en déduit que A = PBP−1 ou encore A = P−1−1 BP−1. La matrice P ′ = P−1 est une matrice inversible telle que A = P ′−1BP ′ et donc B est semblable à A. Transitivité. Soit (A, B, C) ∈(Mn(K))3. Supposons A semblable à B et B semblable à C. Alors, il existe (P, P ′) ∈ (GLn(K))2 telle que B = P−1AP et C = P ′−1BP ′. On en déduit que C = P ′−1P−1APP ′ = (PP ′)−1 A(PP ′). La matrice P ′′ = PP ′ est une matrice inversible telle que C = P ′′−1AP ′′ et donc A est semblable à C. Commentaire. On peut donc dorénavant dire : les matrices A et B sont semblables. Rappelons maintenant sans démonstration le lien avec les changements de base. Théorème 2. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈N∗. Soit f ∈L (E). Soient B et B ′ deux bases de E. Soient A = MatB(f), B = MatB ′(f) et P = PB ′ B . Alors B = P−1AP ou aussi A = PBP−1. Ainsi, deux matrices A et B sont semblables sont aussi les matrices d’un même endomorphisme dans deux bases d’un même espace de dimension finie. Deux matrices semblables ont donc de nombreuses propriétés en commun. Théorème 3. Soit (A, B) ∈(Mn(K))2. On suppose que A et B sont semblables. Alors, • rg(A) = rg(B). • Tr(A) = Tr(B) et det(A) = det(B).  Si deux matrices ont même trace et/ou même déterminant et/ou même rang, ces deux matrices ne sont pas nécessairement semblables. Par exemple, la matrice A =  1 1 0 1  et la matrice I2 =  1 0 0 1  ont toutes deux une trace égale à 2, un déterminant égal à 1 et un rang égal à 2. Pourtant, ces deux matrices ne sont pas semblables car une matrice semblable à I2 est nécessairement égale à I2. De manière générale, une matrice semblable à λIn, λ ∈K, est égale à λIn ou encore la classe de similitude d’une matrice scalaire est un singleton. Théorème 4. Soit (A, B) ∈(Mn(K))2. On suppose que A et B sont semblables. Alors, A est inversible si et seulement si B est inversible. Démonstration. • Si B = P−1AP où P ∈GLn(K), alors det(A) = det(B) et donc A est inversible si et seulement si B est inversible. c ⃝Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr Théorème 5. Soit (A, B, P) ∈Mn(K) × Mn(K) × GLn(K) tel que B = P−1AP. Alors, ∀p ∈N, Bp = P−1ApP. Si de plus, A est inversible, alors ∀k ∈Z, Bk = P−1AkP. Démonstration. Soit f l’endomorphisme de Kn canoniquement associé à A et soit B la base canonique de Kn. Soit B ′ la base de Kn de matrice P dans la base B. Donc, P = PB ′ B . D’après les formules de changement de base, B = P−1AP = MatB ′(f). Mais alors, pour p ∈N Bp = (MatB ′(f))p = MatB ′ (fp) = P−1MatB (fp) P = P−1 (MatB(f))p P = P−1ApP, ces égalités restant vraies pour p ∈Z en cas d’inversibilité. Théorème 6. Soit (A, B, P) ∈Mn(K)×Mn(K)×GLn(K) tel que B = P−1AP. Alors, A est nilpotente si et seulement si B est nilpotente et dans ce cas, A et B ont même indice de nilpotence. Démonstration. Pour k ∈N∗, Bk = P−1AkP. Puisque P et P−1 sont inversibles, P et P−1 sont simplifiables. Par suite, Bk = 0 ⇔P−1AkP = 0 ⇔Ak = 0, ce qui démontre le résultat. 2) Matrices diagonales. Matrices triangulaires 2-a) Matrices diagonales Définition 2. Soit A = (ai,j)1⩽i,j⩽n ∈Mn(K). A est une matrice diagonale si et seulement si ∀(i, j) ∈J1, nK2 (i ̸= j ⇒ai,j = 0). La matrice       λ1 0 . . . 0 0 λ2 ... . . . . . . ... ... 0 0 . . . 0 λn       se note diag (λ1, λ2, . . . , λn) ou encore diag (λi)1⩽i⩽n. L’ensemble des matrices diagonales de format n à coefficients dans K se note Dn(K). Une matrice scalaire c’est-à-dire une matrice de la forme λIn, λ ∈K, est une matrice diagonale d’un type particulier. On a les formules : Théorème 7. • diag (λi)1⩽i⩽n + diag (µi)1⩽i⩽n = diag (λi + µi)1⩽i⩽n ; • ∀λ ∈K, λ diag (λi)1⩽i⩽n = diag (λλi)1⩽i⩽n ; • diag (λi)1⩽i⩽n × diag (µi)1⩽i⩽n = diag (λiµi)1⩽i⩽n et donc ∀p ∈N∗,  diag (λi)1⩽i⩽n p = diag (λp i )1⩽i⩽n. De plus, Théorème 8. diag (λi)1⩽i⩽n ∈GLn(K) ⇔∀i ∈J1, nK, λi ̸= 0. Dans ce cas,  diag (λi)1⩽i⩽n −1 = diag  1 λi  1⩽i⩽n et plus généralement, ∀p ∈Z,  diag (λi)1⩽i⩽n p = diag (λp i )1⩽i⩽n . Théorème 9. • Dn(K) est un sous-espace vectoriel de (Mn(K), +, .) de dimension n. Une base de Dn(K) est (Ei,i)1⩽i⩽n. • Dn(K) est une sous-algèbre commutative de (Mn(K), +, . , ×). c ⃝Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 2 http ://www.maths-france.fr 2-b) Matrices triangulaires Définition 2. Soit A = (ai,j)1⩽i,j⩽n ∈Mn(K). A est une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) si et seulement si ∀(i, j) ∈J1, nK2 (i > j ⇒ai,j = 0) (resp. (i < j ⇒ai,j = 0)). L’ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) de format n à coefficients dans K se note Tn,s(K) (resp. Tn,i(K)). Une matrice diagonale est en particulier une matrice triangulaire supérieure ou aussi une matrice triangulaire inférieure. Plus précisément, Dn(K) = Tn,s(K) ∩Tn,i(K). Théorème 10. Toute matrice triangulaire inférieure est semblable à une matrice triangulaire supérieure. Démonstration. Soit A =         a1,1 0 . . . . . . 0 a2,1 a2,2 ... . . . . . . ... ... . . . an−1,1 an−1,n−1 0 an,1 . . . . . . an,n−1 an,n         ∈Tn,i(K). Soit f l’endomorphisme de Kn cano- niquement associé à A et soit B = (e1, . . . , en) la base canonique de Kn. Soit B ′ = (en, . . . , e1). B ′ est une base de Kn (car B ′ est une famille de rang n) et MatB ′(f) =          an,n an,n−1 . . . . . . an,1 0 an−1,n−1 . . . . . . ... ... . . . . . . ... a2,2 a2,1 0 . . . . . . 0 a1,1          = B. La matrice A est semblable à la matrice B et B est triangulaire supérieure. Théorème 11. • Tn,s(K) (resp. Tn,i(K)) est un sous-espace vectoriel de (Mn(K), +, .) de dimension n(n + 1) 2 . Une base de Tn,s(K) (resp. Tn,i(K)) est (Ei,j)1⩽i⩽j⩽n (resp. (Ei,j)1⩽j⩽i⩽n). • Tn,s(K) (resp. Tn,i(K)) est une sous-algèbre de (Mn(K), +, . , ×). Le théorème précédent signifie en particulier qu’une combinaison linéaire de matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) est une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) et un produit de matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) est une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure). Contentons-nous de revérifier qu’un produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure. Soient A = (ai,j)1⩽i,j⩽n et B = (bi,j)1⩽i,j⩽n deux matrices triangulaires supérieures. Soit (i, j) ∈J1, nK2 tel que i > j. Le coefficient ligne i, colonne j de la matrice AB est ci,j = n X k=1 ai,kbk,j. Dans cette somme, si k < i, ai,k = 0 et donc ai,kbk,j = 0 et si k ⩾i, alors k > j et donc bk,j = 0 puis ai,kbk,j = 0. Finalement, pour tout k ∈J1, nK, ai,kbk,j = 0 puis ci,j = 0. Notons qu’avec un raisonnement analogue, si i = j, ci,i = n X k=1 ai,kbk,i = 0 + . . . + 0 + ai,ibi,i + 0 + . . . + 0 = ai,ibi,i et donc c ⃝Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 3 http ://www.maths-france.fr Théorème 12. •       λ1 × . . uploads/Litterature/ 02-reduction-pdf.pdf

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