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MIROIRS 1. LA REFLEXION DE LA LUMIERE Les lois de la réﬂexion de la lumière son

MIROIRS 1. LA REFLEXION DE LA LUMIERE Les lois de la réﬂexion de la lumière sont connues depuis l' Antiquité. Héron d'Alexandrie les justiﬁe par le principe du chemin minimum auquel Fermat (17ème siècle) fera appel pour l'étude de la réfraction. L'ouvrage de Brunet et Miel Histoire des Sciences dans l'Antiquité (1935) reproduit une traduction de la démonstration de Héron. La formulation qu'en donne Isaac Newton dans l'édition du 1730 de son Opticks est déja une formulation moderne. Voici un extrait du Premier Livre (basé sur des déﬁnitions et des axiomes ) : DEFIN[ITION] IV . The Angle of Incidence is that Angle, which the Line described by the incident Ray contains with the Perpendicular to the reﬂecting or refracting Surface at the point of Incidence. DEFIN[ITION] V . The Angle of Reﬂexion or Refraction, is the Angle which the line described by the reﬂected or refracted Ray containeth with the Perpendicular to the reﬂecting or refracting Surface at the Point of Incidence. AX[IOM] I . The Angles of Reﬂexion and Refraction, lie in one and the same Plane with the Angle of Incidence. AX[IOM] II . The Angle of Reﬂexion is equal to the Angle of Incidence. Les Postes Britanniques (Royal Mail) ont émis (1987 ?) le timbre reproduit ci-dessous. Il y est fait allusion au titre complet de l'Opticks de Newton : OPTICKS OR A TREATISE OF THE REFLEXIONS, REFRACTIONS, INFLEXIONS & COLOURS OF LIGHT . cliquer sur l'image pour l'agrandir 2. ANAMORPHOSES CONIQUES Imaginons qu'un cône réﬂéchissant soit posé sur le plan horizontal de projection et qu'un point d'oeil O soit situé verticalement au-dessus du sommet du cône. Soit P un point dans le plan horizontal. On demande de trouver le point P' du plan horizontal tel que par réﬂexion - vu de O - il paraisse être P. En d'autres termes, nous voulons qu'un rayon lumineux issu de P' soit réﬂéchi suivant la droite PO. Une solution analytique est donnée dans l'article de Hunt mentionné dans la bibliographie. Nous allons traiter la question de manière graphique en utilisant des méthodes de la géométrie descriptive. Notons p le plan parallèle au plan vertical de projection et passant par l'axe de symétrie du cône. Les lois de la réﬂexion fournissent une solution immédiate pour les points P situés dans p. Nous allons ramener le cas général à ce cas particulier. Imposons à l'espace une rotation autour de l'axe de symétrie du cône qui amène le point P sur un point Q situé dans p. Notons U le point de percée de QO dans le cône. Le rayon réﬂéchi UO provient d'un rayon incident RU émanant d'un point R dans le plan horizontal. La rotation inverse de celle utilisée précédemment amène R en le point P' recherché. La construction précédente a été employée par un logiciel graphique pour construire une anamorphose conique de l'image d'un chien (point d'oeil à l'inﬁni). 3. ANAMORPHOSES CYLINDRIQUES Considérons un cylindre réﬂéchissant posé sur le plan horizontal de projection et un oeil placé en O. Rappelons que le plan polaire de O (par rapport au cylindre) est le plan passant par les deux génératrices de contact des deux plans tangents issus de O. Il est commode de supposer que les rayons réﬂéchis arrivant en O proviennent de son plan polaire (un oeil ponctuel ne pouvant distinguer l'origine d'un rayon lumineux, ce choix est dicté par la simplicité des constructions). Soit P un point situé dans le plan polaire de O. Nous devons déterminer le point P' du plan horizontal tel qu'un rayon lumineux issu de P' soit réﬂéchi suivant la droite PO. La solution fournie par Kirsti Andersen (voir son article repris dans la bibliographie) s'inscrit naturellement dans le cadre d'un traitement par la géométrie descriptive. Soit Q le point de percée de OP dans le plan horizontal de projection. La droite OP rencontre la surface cylindrique en deux points. Notons C celui situé entre O et P. On peut montrer que les distances ChP'h et ChQh sont égales et que OhCh et P'hCh forment des angles égaux avec la tangente en Ch au cercle de base. (cliquer ici pour une démonstration) . P' est ainsi complètement déterminé. Proposons-nous maintenant de tracer dans le plan horizontal une courbe dont l'image dans le miroir cylindrique soit un segment de droite parallèle à la ligne de terre. Contrairement à ce qu'avaient pensé certains auteurs du 17ème siècle, il ne sufﬁt pas de rechercher un arc de cercle (ni même un arc de conique). Nous citons Kirsti Andersen : The resulting curve is part of an oval that is symmetric around the line ... [il s'agit de la droite qui joint les projections horizontales de l'oeil et de la base du cylindre] ... Vaulezard did not identify this curve, which is no wonder because it is not one of the then known curves, and, writing his tract before the emergence of analytic geometry he did not search for its equation. To ﬁnd this equation, which is quite a calculation, I have had help from Eisso Atzema, who used the computer program Maple. Thanks to Atzema and Henk Bos, I can tell that the equation of the curve is a polynomial of degree 6 with coefﬁcients that contain many terms. Les artistes ont souvent utilisé des cercles qui fournissent des approximations acceptables. Né en Belgique en 1936, Raymond Van Bockstal n'abandonnera jamais son rêve d'enfance, la peinture, à laquelle il consacrera la majeure partie de ses loisirs, parallèlement à la pratique de la médecine. Au cours des années '80, il dessinera une vingtaine de perspectives cylindriques. Nous remercions cordialement Diane Van Bockstal de nous permettre de reproduire deux très belles anamorphoses cylindriques dues à son père. 4. ANAMORPHOSES SPHERIQUES Nous nous intéressons maintenant à une sphère réﬂéchissante de centre C observée à partir d'un point d'oeil O. Nous supposons (pour des raisons de commodité qui n'entraînent aucune perte de généralité) que la droite qui joint O et C soit contenue dans le plan horizontal de projection et perpendiculaire au plan vertical de projection. ﬁg.1 Le plan polaire p de O (par rapport à la sphère) est le plan qui contient les points de contact des tangentes issues de O. Selon nos hypothèses, p est un plan parallèle au plan vertical de projection dont la partie interne à la sphère a été représentée en couleur rouge dans la ﬁgure 1 ci-contre. En projection horizontale, cette partie est la corde de contact des tangentes issues de Oh à la projection horizontale de la sphère, ce qui permet de déterminer immédiatement le cercle qui la limite en projection verticale. Soit P un point dans p. Supposons qu'un rayon lumineux soit réﬂéchi en suivant la droite déterminée par P et O. Nous voulons déterminer le rayon incident lui correspondant. Nous devons d'abord trouver le point de percée I de PO dans la sphère aﬁn de pouvoir appliquer les lois de la réﬂexion. Soit q le plan vertical dont la projection horizontale est la droite passant par Ph et Oh. Rabattons q sur le plan horizontal de projection par une rotation autour de cette droite. Ceci laisse Oh invariant. Le cercle intersection de q avec la sphère est rabattu suivant le cercle ﬁg.2 (dessiné en vert dans la ﬁgure 2) dont le centre est sur OhPh et qui passe par les points d'intersection de la charnière de rabattement avec la projection horizontale de la sphère. Le point P est rabattu en Q qui se situe sur une droite perpendiculaire à la charnière, à une distance de Ph égale à la hauteur de P par rapport au plan horizontal de projection. PO étant ainsi rabattu suivant QhOh, on obtient immédiatement le point Jh qui correspond au rabattement de I. La projection orthogonale de Jh sur PhOh est la projection horizontale de I. La suite de la construction est illustrée par la ﬁgure 3 ci- contre. Soit r le plan perpendiculaire au plan vertical de projection et contenant les points P et O (et donc aussi I). Effectuons une rotation de l'espace autour de la droite OC aﬁn d'amener r dans le plan horizontal de projection. Cette transformation laisse O ﬁxe et envoie I sur K (K s'obtient immédiatement en notant qu'il doit se trouver sur la projection horizontale de la sphère et sur l'horizontale passant par I parallèle au plan vertical). KO est la transformée du rayon réﬂéchi. Il est alors facile de trouver la transformée du rayon incident. Soient A un point de la droite KO et B son symétrique par rapport à CK (le choix - peut-être étonnant - de A dans la ﬁgure est dicté par un souci de lisibilité). B doit se trouver sur la droite porteuse de la transformée du rayon incident. L'inverse de la rotation décrite précédemment envoie B sur D. Dans notre cas de ﬁgure, le rayon incident se propage donc suivant EI. Il n'y a pas lieu de se soucier longuement de la projection verticale du rayon incident. Nos hypothèses entraînent qu'il se trouve dans le uploads/Ingenierie_Lourd/ miroirs-anamorphic-problems.pdf