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UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES Ann ?ee ?? MPI ALGE BRE CORRECTION DE LA SE ?RIE PAR FARBA FAYE Exercice Montrer que ??m n ?? Z ? ? Z ? mZ nZ m ?? n Z En d ?eduire le th ?eoreme de Bezout-Bachet Deux entiers m et n non nuls sont premiers entre eux c ? esta dire m ?? n si et seulement si il existe un couple u v d ? entiers tel que mu nv Soit G un groupe cyclique m ?el ?ements a un g ?en ?erateur de G i Soit k un ?el ?ement de N ? et notons d le pgcd de m et k Montrer que ak ad ii En d ?eduire que ??k ?? N ? ak est un g ?en ?erateur de G ?? m ?? k iii D ?eterminer l ? ordre du sous-groupe engendr ?e par ak Montrer que tout sous-groupe cyclique d ? ordre n est isomorphe Z nZ Correction Puisque mZ et nZ sont des sous-groupes de Z mZ nZ nZ mZ Z ?etant commutatif d ? apres un exercice fait dans la s ?erie pr ?ec ?edente mZ nZ est un sous groupe de Z Il est donc de la forme dZ Comme m appartient mZ nZ il appartient dZ donc d divise m De m eme d divise n c ? est donc un diviseur commun de m et n Montrons que d est le plus grand diviseur commun de m et n Si p est un diviseur commun de m et n alors m ?? pZ donc mZ m est inclus dans pZ De m eme nZ est inclus dans pZ Donc dZ mZ nZ est inclus dans pZ c ? esta dire d est un miltiple de p il est alors plus grand que p Si m et n sont deux entiers premiers entre eux on peut ?ecrire ?? Z m ?? n Z mZ nZ donc ??u v ?? Z mu nv R ?eciproquement s ? il existe deux entiers u et v tels que mu nv mu nv ?? mZ nZ m ??n Z ?? Z ? m ??n Z ?? Z m ??n Z ?? m ??n C MP Alg ebre Correction de la s ?erie F Faye page i Comme d m ?? k m ?? k Z dZ donc il existe deux entiers u et v tels que mu kv d ce qui entrane amu kv ad c ? est a dire am u ak v ad ou ad ak v Donc ad ?? ak ce qui entrane ad ? ak D ? un autre ct ?e k est un multiple de d donc il existe un entier p tel que k pd ce qui entrane ak apd c ? esta dire ak ad p Donc ak ?? ad ce qui entrane ak ? ad Conclusion ak ad ii ??k ?? N ? ak est un g ?en ?erateur de G