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exercices equations differentielles

Terminale S Exercices équations di ?érentielles - Exercice équation di ?érentielle et fonction exponentielle Partie A On considère l'équation di ?érentielle E y' y e-x Démontrer que la fonction u dé ?nie sur l'ensemble Y par u x xe-x est une solution de E Résoudre l'équation di ?érentielle E y' y Démontrer qu'une fonction v dé ?nie et dérivable sur Y est solution de E si et seulement si v ?? u est solution de E En déduire toutes les solutions de E Déterminer la fonction f solution de E qui prend la valeur en Partie B k étant un nombre réel donné on note fk la fonction dé ?nie sur l'ensemble Y par fk x x k e-x On note k la courbe représentative de la fonction fk dans un repère O Déterminer les limites de fk en - ? et ? Calculer f'k x pour tout x réel En déduire le tableau de variations de fk Le graphique ci- dessous représente une courbe k qui est la représentation d'une fonction fk A l'aide des renseignements donnés par le graphique déterminer la valeur du nombre réel k correspondant CTerminale S Exercices équations di ?érentielles - Exercice charge d'un condensateur On considère le montage électrique représenté par le schéma ci-dessous C R E Le condensateur de capacité C ? - F farads est monté en série avec un générateur dont la tension aux bornes est E V et un conducteur ohmique de résistance R ohms A l'instant initial le condensateur est déchargé et la tension est nulle à ses bornes On ferme le circuit et on s'intéresse à l'évolution de la tension uc aux bornes du condensateur D'après la loi d'Ohm et la loi d'addition des tensions la tension uc aux bornes du condensateur véri ?e l'équation di ?érentielle E R? C? ddutc uc o? t est le temps en secondes Ecrire une l'équation sous la forme y' ay b Résoudre cette équation en tenant compte des conditions initiales Donner la valeur de uc au bout de ms Exercice Etude de calculs de Daniel Bernoulli Au XVIIIe siècle Daniel Bernoulli étudie l'impact de la variole sur une population initiale S A un instant donné t il considère que le nombre S t de personnes non décédées fourni par les tables de mortalité et le nombre M t des personnes susceptibles d'avoir la variole En utilisant les hypothèses de Bernoulli et en supposant que le nombre de décès pour d'autres causes que la variole est à un instant donné proportionnel coe ?cient k t à la population concernée on admettra que l'on peut modéliser la situation par les deux équations suivantes S' t - M t ?? k t S t et M' t - M t ?? k t M t avec S M On considère la fonction f telle que f t MS tt Que représente f t CTerminale S Exercices équations di ?érentielles - Démontrer que f' t - f t f t ? et f On considère