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Groupe Scolaire Année académique 2007 - 2008 du Collège Saint Joseph Lundi 19 n

Groupe Scolaire Année académique 2007 - 2008 du Collège Saint Joseph Lundi 19 novembre Lomé DEVOIR DU 1ER SEMESTRE MATHEMATIQUES Durée : 3h TERMINALE D Coeff. : 3 Exercice 1 A-/ Soit dans C l’équation : (E) : Z3 – (4 + i) Z² + (7 + i) Z – 4 = 0. 1.a) Montrer que (E) admet une solution réelle Z1. b) Résoudre dans C l’équation (E) ; on notera Z2 et Z3 les solutions non réelles telles que 3 2 Z Z  . 2. Soit A et B les points d’affixes respectives Z2 et Z3. a) Calculer Z 3 13. b) Ecrire sous forme trigonométrique 3 2 Z Z et en déduire la nature du triangle OAB. B-/ A tout nombre réel z 1 – i, on associe le nombre complexe Z tel que Z = i z i z     1 2 2 . Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z tel que : a) Z = 1 ; Z = 2. b) Z est un nombre réel strictement positif. c) Z est un nombre imaginaire pur. Exercice 2 x et y sont des réels. On donne le point M du plan complexe d’affixe z = x + iy tel que (2 + 3i)z + (-2 + 3i) z -12i = 0 (1) 1/ Montrer que l’ensemble des points M est une droite (D) ; déterminer (D) par un point et un vecteur directeur. Représenter cette droite dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (O,  1 e ,  2 e ), l’unité graphique étant 1 cm. 2/ Montrer qu’il existe un seul réel z0 et un seul imaginaire pur z1 qui vérifient la relation (1). Calculer z0 et z1. 3/ Soit A et B les points du plan complexe d’affixes respectives 3 4  i et 4 + 3 4 i. Montrer que la droite (D) est médiatrice du segment [AB]. 4/ Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe dont l’affixe z vérifie la relation : z i  3 4 = z i  3 4 4 . 5/ Déterminer et représenter sur le graphique précédent l’ensemble des points M du plan complexe dont l’affixe z vérifie : arg ( z i z i 3 4 12 3 4     ) = 2  + k (k  Z). TSVP Exercice 3 Soit f : IR -   1   IR x  f (x) = 1  x + 1 2  x . On désigne par (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,  i ,  j ). 1.a) Etudier la dérivabilité de f en x0 = -1. b) Déterminer les équations des demis – tangentes à (C) au point d’abscisse x0 = 1. 2. Etudier les variations de f et donner son tableau de variation. 3. Démontrer que (C) possède trois asymptotes dont on déterminera les équations. 4. Construire (C) (unité graphique : 2cm). QUE L’ESPRIT DE LUMIERE ET D’INTELLIGENCE SOIT AVEC VOUS ! Groupe Scolaire Année Scolaire 2008–2009 du Collège Saint Joseph Lomé BAC II – BLANC DES 09-10-11-12 MARS 2009 MATHEMATIQUE Durée : 4H SERIE D Coeff. : 3 Exercice 1 1. a) Montrer que pour tout nombre réel x, on a : 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 2       x x x x x e e e e e . b) Calculer l’intégrale I =   1 0 2 ) 1 ( 1 x e dx. 2. a)Déterminer une primitive sur de la fonction 3 ) 1 (  x x e e x  . b) Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale J =   1 0 3 ) 1 ( x x e xe dx. Exercice 2 1. Pour tout nombre complexe z, on donne : P(z) = z3 – (5 + 3i)z2 + (5 + 8i)z – 1 – 5i. a) Déterminer les racines carrées du nombre complexe 3+4i. b) Montrer que P(z) admet une racine réelle à déterminer. c) Résoudre dans ℂ l’équation P(z) = 0. 2. On désigne par z1 la racine réelle, z2 et z3 les autres racines de P(z) telles que Re(z2) < Re(z3). On considère dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,  v u, ) les points M1, M2 et M3 d’affixes respectives z1, z2 et z3. a) Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe S de centre M1 telle que S(M2) = M3. b) Déterminer le rapport et l’angle de cette similitude. c) Déterminer le point P tel que S(P) = 0 (0 est l’origine du repère). 3. On considère les points A(3 ; -1) et B(0 ; 2). h est l’homothétie de centre A et de rapport – 2 . r est la rotation de centre B et d’angle de mesure 4 3. a) Déterminer l’écriture complexe de h, de r et de r o h. b) Caractériser r o h. Problème On considère la fonction f définie de  vers  par f(x) = x e  1 1 . On note (C ) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,I,J). L’unité graphique est 4cm. Partie A 1. Etudier les variations de f et réaliser son tableau de variation. 2. a) Prouver que le point (0 ; ½) est centre de symétrie de (C ). b) Ecrire une équation cartésienne de la tangente (T) à (C ) au point . 3. Construire (T) et (C ). Partie B 4. a) Prouver que pour tout nombre réel x, f(x) + f(-x) = 1. b) Prouver que pour tout nombre réel x, x x x e e e     1 1 1 5. On pose g(x) = f(-x) ; I =  1 0 ) ( dx x f et J =  1 0 ) ( dx x g . a) Calculer J puis I. b) Prouver que pour tout nombre réel positif x, on a : f(x)  g(x). c) On note (D) l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x, y) vérifient 0  x  1 f(x)  y  g(x) d) Exprimer l’aire A de (D) en fonction de I et J. e) Calculer alors l’aire A en cm2. Partie C On considère les fonctions h et H définies sur [0 ; +[ par h(x) = ex ln(1 + e-x) et H =  x dx x h 0 ) ( . 6. a) Montrer que pour tout nombre réel x  [0 ; +[, h(x) est strictement positif. b) En déduire que H est strictement croissante sur [0 ; +[. 7. On note h’ la dérivée de h. a) Vérifier que pour tout nombre réel positif x, h(x) = h’(x) + g(x). b) En déduire une écriture de H(x) sans le symbole de l’intégrale. 8. a) Calculer ) ( lim x h x   (On pourra poser t = e-x). b) Calculer ) ( lim x H x   . c) Dresser le tableau de variation de H. d) Prouver que lim (H(x) – x) = 1 - 2ln2 puis interpréter graphiquement ce résultat. x + e) Construire (C ’), la courbe représentative de H dans le même repère que (C ). F I N Groupe scolaire du Année académique 2009 - 2010 Collège saint Joseph Vendredi, le 14 mai 2010 Lomé TOGO COMPOSITION DU SECOND SEMESTRE MATHEMATIQUE Durée : 4heures TERMINALE D Coef. : 3 Exercice 1 (4,75pts) Une urne contient 6 boules vertes et 4 boules jaunes, toutes indiscernables au toucher. On tire en une seule prise 3 boules de l’urne. 1. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes restant dans l’urne après le tirage. a) Déterminer la loi de probabilité de X. (1,5pts) b) Définir la fonction de répartition F de la variable aléatoire X et la représenter graphiquement. (1pt) c) Calculer son espérance mathématique E(X) et son écart – type σ(X). (0,5pt+0.75pt+0.25pt) 2. On procède à 5 tirages consécutifs des 3 boules, les boules étant remises dans l’urne après chaque tirage. Quelle est la probabilité de tirer exactement 3 fois des boules jaunes au cours des 5 tirages. (0,75pt) Exercice 2 (5,5pts) 1. Pour tout nombre complexe z, on donne P(z) = - (5 + 3i)z² + (5 + 8i)z – 1 – 5i. a) Déterminer les racines carrées du nombre complexe 3 + 4i. (0,5pt) b) Montrer que P(z) admet une racine réelle à déterminer. (0,5pt) c) Résoudre dans ℂ, l’équation P(z) = 0 (1pt) 2. On désigne par la racine réelle, les autres racines de P(z) telles que Re( < Re( ). On considère dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, ), les points M1, M2 et M3 d’affixes respectives , . a) Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe S de centre M1, telle que S(M2) = M3. (0,5pt) b) Déterminer uploads/Ingenierie_Lourd/ les-sujets-de-maths-tle-d-csj.pdf