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EFFORT EN FLEXION INTRODUCTION Une poutre est une membrure mince soumise à des

EFFORT EN FLEXION INTRODUCTION Une poutre est une membrure mince soumise à des charges transversales généralement normales à son axe. La poutre est l'élément structural le plus répandu, puisqu'elle fait partie intégrante de la plupart des ouvrages de construction ou des pièces machines. En réaction aux charges appliquées, des forces et des moments internes se développent dans la le etapoutre pour maintenir l'équilibre. On appelle effort tranchant (T) la force interne transvers moment fléchissant (M) le moment interne. Dans ce chapitre, nous étudierons ces forces et ces moments; nous allons voir de quelle façon ils varient d'une zone à l'autre le long de la poutre et où sont situées les zones les plus sollicitées afin de pouvoir déterminer le type de poutre à utiliser. On définit la poutre: Une membrure qui supporte des charges perpendiculairement à son axe longitudinal et qui les transmet à des appuis situés le long de son axe. Types de poutres Une poutre est une barre d'une charpente, une membrure d'une structure, ou un élément d'une machine. Les poutres sont placées dans la position horizontale et supportent des charges. Les charges sur les poutres tendent à les trancher (cisailler) et à les courber ou plier. Fig. 1 A Poutre simple C'est une poutre reposant sur deux supports; l'appui double et l'appui simple. Les points d'appui sont articulés de façon à ce que les extrémités puissent se mouvoir librement pendant la flexion. La figure .1 montre une poutre simple. B Poutre console Extrémité libre Extrémité encastrée Porte-à-faux Fig. 2 C'est une poutre encastrée dans un mur à une l'extrémité. L'extrémité encastrée ne bouge pas pendant la flexion, tandis que l'autre extrémité est entièrement libre. On appelle aussi cette poutre, poutre en porte-à-faux ou poutre encastrée à une extrémité. La figure 2 montre une poutre console. C Poutre avec porte-à-faux C'est une poutre qui repose sur deux appuis (un simple et l'autre double) et a une ou deux extrémités qui dépassent de façon appréciable les appuis (porte-à-faux). On appelle aussi cette poutre; poutre en porte-à-faux d'extrémité (overhanging). La figure 3 montre une poutre avec porte-à-faux. Fig. 3 Les poutres sont classées suivant leurs appuis. Les trois types de poutres précédentes entrent dans la catégorie des poutre statiquement déterminées (poutre isostatique). Car ces poutres possèdent trois inconnues reliées aux trois degrés de liberté et par le fait même aux trois équations d'équilibre. Équilibre de translation: c ∑Fx = 0 translation horizontale d ∑Fy = 0 translation verticale Équilibre de rotation e ∑Mz = 0 rotation par rapport à n'importe lequel axe perpendiculaire au plan des forces xy. Fig. 4 D Poutre encastrée et supportée C'est une combinaison des types A et B. On note que la poutre est liée quatre fois (4 inconnues), c'est donc une poutre en équilibre hyperstatique. La figure 4 nous montre une poutre encastrée et supportée. E Poutre continue Fig. 5 C'est une poutre supportée par plus de deux supports, c'est donc une poutre en équilibre hyperstatique. La figure 5 nous montre une poutre continue. F Poutre à double encastrement C'est une poutre supportée par deux encastrement, c'est donc une poutre en équilibre hyperstatique. La figure 6 nous montre une poutre à double encastrement. Fig. 6 G Poutre supportée à double encastrement C'est une poutre soutenue par deux uencastrement et supportée par un o plusieurs supports, c'est donc une poutre en équilibre hyperstatique. La figure 7 nous elmontre une poutre supportée à doub .encastrement Fig. 7 Les poutres D à G sont des poutres hyperstatiques. Elles ont plus de fixations ou supports que nécessaires. Cependant, ces supports augmentent la capacité portante de la poutre. Les équations de la statiques ne suffisent pas pour analyser ces poutres. On a recourt à différentes méthodes. Types de charges A Charge concentrée Une charge concentrée est une charge qui s'étend sur une distance relativement très courte de la poutre, de sorte que l'on puisse considérer que cette charge agit en en point, sans erreur appréciable. Une colonne de béton supportée par une poutre reposant sur deux poteaux d'acier, est un exemple d'une charge concentrée. On considère également que les réactions des poteaux agissent en des points situés aux centres de ces poteaux, même si la longueur d'appui est la largeur du poteau. La situation de la figure 8 (a) est donc représentée symboliquement par la figure 7.8 (b), où P (poids de la colonne) est une charge concentrée, tandis que A et B sont des réactions d'appuis concentrées. colonne poteau P A B (a) (b) poteau Fig. 8 B Charge uniformément répartie Une charge uniformément répartie ou distribuée est une charge qui agit sur une distance considérable de la poutre, et ce de façon uniforme, c'est-à-dire la charge sollicitante par unité de longueur "w" [N/m] de la poutre est constante. Le poids de la poutre, lui aussi, est une charge uniformément répartie sur toute sa longueur. La figure 9 montre une charge distribuée (mur de béton) sur une poutre. La charge totale "W" de cette charge distribuée est le produit (aire de la charge: base (x) x hauteur (w)) de la charge linéaire par la longueur (wx) et est appliquée au centre (x/2) de cette distribution. mur de béton poteau A B (a) (b) w [N/m] x A B W = w x x/2 (c) poteau Fig. 9 C Charge non uniformément répartie Il existe plusieurs types de charges non uniformément réparties, la plus souvent rencontrée est la charge triangulée. Un peu comme la charge uniformément répartie, la charge totale d'une charge triangulée est donnée par "l'aire de la charge", c'est-à-dire base (x) x hauteur (w) divisée par 2 (aire d'un triangle) (wx/2) et est appliquée au centre de la distribution (comme pour un triangle) 2x/3. La figure 10 montre une charge triangulée. (b) A B (a) w [N/m] x A B W = w x 2 2 x 3 x 3 Fig. 10 Il existe aussi d'autres formes de charges distribuées non uniformes. Le principe est le même; la charge totale équivaut à l'aire de la figure géométrique représentée et l'application se fait au centre géométrique de celle-ci. La figure 11 en illustre quelques autres charges non uniformément réparties. A B x A B x (b) (a) Fig. 11 D Couples On rencontre aussi des couples de forces dans une poutre, ces couples tendent à courber la poutre. ils modifient donc les moments de flexions des poutres. la figure 12 montre un couple appliqué sur une poutre. Fig. 12 Dans les charges concentrées, il y a aussi les charges axiales et les charges obliques ou inclinées par rapport à l'axe. Dans la pratique, on peut rencontrer l'un ou l'autre des types de charges ou une combinaison de plusieurs types de charges. Il est bon de pouvoir les reconnaître et les identifier. DIAGRAMMES DE T ET DE M Généralités Dans le plan, il y a trois degrés de liberté; c'est-à-dire trois types de mouvements possibles: ← translation dans la direction de l'axe de la poutre (horizontale) ↑ translation perpendiculairement à l'axe de la poutre (verticale) → rotation. Pour qu'une poutre en équilibre statique soit liée complètement, il faut empêcher ces trois mouvements par trois forces non concourantes. Lorsqu'une poutre est en équilibre, chacune de ses parties est aussi en équilibre. Il faut donc que les efforts internes au point de coupe soient en mesure de restreindre les trois degrés de liberté. Ces efforts sont: N -> Effort normal (empêchant tout mouvement horizontal) T -> Effort tranchant (empêchant tout mouvement vertical) M -> Moment de flexion (empêchant la rotation) L'effort normal représente la transmission des efforts axiaux à l'articulation ou à l'encastrement. L'effort tranchant représente les transmissions intégrales des charges aux appuis. Le moment de flexion dépend de la position des charges et de l'écartement des appuis. C'est le seul effort qui dépend de la longueur de la poutre. On calcul ces efforts en appliquant les équations d'équilibre: Équilibre de translation: horizontal ∑Fx = 0 c vertical ∑Fy = 0 d Équilibre de rotation: ∑Mz = 0 e Recherche des efforts en tout point d'une poutre Afin de pouvoir tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants, il faut connaître en tout point de la poutre quelles sont les valeurs de ces efforts et moments. Pour ce, on doit effectuer des coupes dans la poutre afin d'appliquer les équations d'équilibre nous permettant de connaître tous les efforts. La figure suivante illustre un cas exagéré de charges s'appliquant sur une poutre, dans cette exemple il faut effectuer plusieurs coupes afin de trouver les efforts tranchants et les moments fléchissants en tout point. P Q R S w t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Fig. 13 Règle à suivre: 1- On se déplace sur la poutre de gauche à droite et on effectue une coupe chaque fois que les conditions de charge changent. C'est-à-dire que l'on effectue une coupe à chaque nouvelle charge. On ne coupe jamais vis-à-vis une charge. 2- Il y a changement en entrant dans la poutre, après une charge concentrée ou réaction uploads/Ingenierie_Lourd/ flexion.pdf