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Terminale S 1 F. Laroche Géométrie exercices corrigés http://laroche.lycee.free

Terminale S 1 F. Laroche Géométrie exercices corrigés http://laroche.lycee.free.fr Terminale S Géométrie Exercices corrigés 1. 1. Fesic 2002, exo 13 (c) 1 1. 2. QCM, Am. du Nord 2007 (c) 2 1. 3. QCM espace, Polynésie 2005 (c) 2 1. 4. QCM, France 2006 (c) 4 1. 5. Vrai-Faux justifié, Polynésie 2006 (c) 5 1. 6. QCM espace France 2004 (c) 6 1. 7. QCM espace, N. Calédonie 2004 (c) 7 1. 8. Vrai-Faux espace, Amérique du Sud 2005 (c) 10 1. 9. Basique, N. Calédonie 11/2008 (c) 11 1. 10. Orthogonalité, Am. Nord 2008 12 1. 11. Tétraèdre, Pondicherry 2008 (c) 13 1. 12. Volume+produit scalaire, C. étrangers 2005 (c) 14 1. 13. Distance minimale, N. Calédonie 06/2008 15 1. 14. Distance point-droite, France 06/2008 (c) 16 1. 15. Distance point-droite, La Réunion sept. 2010 17 1. 16. Distance point-plan, Asie 2006 (c) 18 1. 17. Distance point-plan, Pondicherry 2006 (c) 19 1. 18. Distance 1 point à 2 plans, France 2007 (c) 21 1. 19. Distance droite-droite, Polynésie sept 2007 (c) 22 1. 20. Droites, plan, barycentre, Pondicherry 2005 (c) 23 1. 21. Plan médiateur, sphère, Antilles 2005 (c) 24 1. 22. Droites, plan, sphère, Polynésie 2003 (c) 25 1. 23. Barycentre, Polynésie 2007 (c) 26 1. 24. Barycentre espace, Antilles 2004 (c) 27 1. 25. Molécule de méthane (c) 28 1. 26. Lignes de niveau, Liban 2006 (c) 30 1. 27. Homothétie (c) 31 1. 28. EPF 2003, carré qui tourne (c) 33 1. 29. Le théorème de Napoléon 2 (c) 33 1. 1. Fesic 2002, exo 13 (c) Soit (ABC) un triangle équilatéral de côté 3 ; G le centre de gravité de (ABC) ; H le symétrique de A par rapport à G. On pourra également considérer I le milieu du segment [BC]. a. Le point H est le barycentre du système de points pondérés : {(A, 1) ; (B, –2) ; (C, –2)}. b. On a : . 3 HA HC = . Soit (P) le plan passant par A et perpendiculaire à la droite (HC). c. Pour tout point M de (P), on a : . 3 HM HC = . d. Le plan (P) est l’ensemble des points M de l’espace vérifiant : ( 2 2 ). 9 MA MB MC HC − − = − Correction Faisons la figure : a. Vrai : Le barycentre K de {(A, 1) ; (B, –2) ; (C, –2)} est celui de {(A, 1) ; (I, –4)} donc tel que 4 4 2 1 4 3 AK AI AI AG AH − = = = = − . b. Vrai : Comme on a un triangle équilatéral, (AH) est orthogonal à (BC) donc le projeté de C sur AH est I : 2 4 1 4 3 . . . 3 3 3 3 9 2 HA HC HA HI AI AI   = = = =     . On pouvait aussi utiliser la trigo : H G I C B A 4 3 2 3 . . cos( , ) 3 . 3 cos 3 3 2 3 2 3 HA HC HA HC HA HC π     = = =         (je ne détaille pas, je vous conseille de chercher les différents éléments…). c. Vrai : Soit M un point de (P), on a : . . . 3 0 3 HM HC HA HC AM HC = + = + = puisque (AM) est orthogonal à (HC). d. Faux : Simplifions : ( 2 2 ). 3 . 3 . 9 MA MB MC HC MH HC HM HC − − = − = = . Terminale S 2 F. Laroche Géométrie exercices corrigés http://laroche.lycee.free.fr 1. 2. QCM, Am. du Nord 2007 (c) 3 points Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. 1. L’espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , ) O i j k . Soit (P) le plan dont une équation est : 2 3 1 0 x y z + − + = . Soit A le point de coordonnées ( ) 1 ;11 ; 7 . Proposition 1 : « Le point H, projeté orthogonal de A sur (P) a pour coordonnées ( ) 0 ; 2 ;1 . » 2. On considère l’équation différentielle (E) : ' 2 2 y y = − . On appelle u la solution de (E) sur ℝ vérifiant ( ) 0 0 u = . Proposition 2 : « On a ln2 1 2 2 u =     . » 3. On considère la suite ( ) n u définie par 0 2 u = et pour tout entier naturel n, 1 7 n n u u + = . Proposition 3 : « Pour tout entier naturel n, on a 0 7 n u ≤ ≤ . » Correction Proposition 1 : « Le point H, projeté orthogonal de A sur (P) a pour coordonnées ( ) 0 ; 2 ;1 . » Calculons ( ) 1 ; 9 ; 6 AH = − − − et le vecteur normal à (P) : ( ) 2 ;1 ; 3 n = − . Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc c’est faux. Nota : on peut chercher les coordonnées de H : comme H est le projeté orthogonal de A sur (P), alors et AH n sont colinéaires. Il existe donc un réel k tel que AH k n = , c’est-à-dire 1 2 11 7 3 H H H x k y k z k −=   − =   − = −  ou encore 1 2 11 7 3 H H H x k y k z k = +   = +   = −  (1). De plus, H appartient à (P), alors : ( ) ( ) ( ) 2 1 2 11 3 7 3 1 0 k k k + + + − − + = , 14 7 0 k− = . On en déduit que 1 2 k = . En remplaçant dans (1), on obtient 23 11 2 ; ; 2 2       . 2. (E) : ' 2 2 y y = − . Proposition 2 : « On a ln2 1 2 2 u =     . » Les solutions de (E) sont ( ) 2 2 2 1 2 x x u x Ce Ce − − = − = + − ; avec ( ) 0 0 u = on a 1 C = − et ln2 2 2 ln2 ln2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 u e e −  = − = − = − =     donc vrai. 3. 0 2 u = ; 1 7 n n u u + = . Proposition 3 : « Pour tout entier naturel n, on a 0 7 n u ≤ ≤ . » 0 n u ≥ est évident ; par récurrence : 0 2 7 u = ≤ et 7 7 49 7 49 7 n n n u u u ≤ ⇔ ≤ ⇒ ≤ = donc vrai. 1. 3. QCM espace, Polynésie 2005 (c) 5 points Pour chacune des cinq questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une Terminale S 3 F. Laroche Géométrie exercices corrigés http://laroche.lycee.free.fr réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. L’espace est rapporté à un repère orthonormé ( ; , , ) O i j k . On considère les points A(3 ; 1 ; 3) et B(−6 ; 2 ; 1). Le plan P admet pour équation cartésienne x +2y +2z = 5. 1. L’ensemble des points M de l’espace tels que 4 2 MA MB − = est : a. un plan de l’espace ; b. une sphère ; c. l’ensemble vide. 2. Les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan P sont : a. 11 1 1 ; ; 3 3 uploads/Ingenierie_Lourd/ exercices-geometrie-corriges.pdf