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Exercice n° 1 ( 6 points ) L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct

Exercice n° 1 ( 6 points ) L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i , j , k ). On donne les points A( 2, 1 , 0 ) ; B( 1 , 2 , 2) et C( 3 , 3 , 1). 1) a) Calculer le composantes du vecteur AB ∧AC . b) En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. c) Montrer qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : x – y + z - 1 = 0. d) Calculer l’aire du triangle ABC. 2) Calculer la distance du point O au plan (ABC). 3) a) Montrer que le triangle ABC est équilatéral. b) Déterminer les coordonnées du point G centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Exercice n° 2 ( 7 points ) L’espace étant rapporté à un repère orthonormé direct ) , , , 0 ( k j i . On considère la famille des plans Pm où m est un paramètre réel. : (m+1) x + (3-m) y + (5 – 2m) z + 3m -1 = 0. 1) Vérifier que les points I(-2,1,0) et J(-1, -6,4) appartiennent à Pm IR m∈ ∀ , 2) En déduire que tous les plans Pm ∆ contiennent une droite dont on donnera les équations paramétriques 3) Soit le plan Q : x – y – 2z + 3 = 0. a) Déterminer une équation cartésienne du plan Q’ de la famille des plans Pm perpendiculaire à Q. b) Montrer que ∆ est incluse dans Q. c) En déduire que Q’∩Q=∆ 4) Soit le point A (1, 2,-1) et D la droite dont une représentation paramétrique est D:      + − = ∈ − = − = 2 2 , 1 α α α α z IR y x a) Déterminer les coordonnées du point H projeté orthogonal de A sur D b) En déduire la distance du point A à la droite D. DEVOIR DE CONTROLE N° 3 LYCEE PILOTE MONASTIR 2010/2011 MATHEMATIQUE Classe 3 T « 2H » Prof: MOHAMED BENZINA Exercice n° 3 ( 7 points ) On considère les suites (Un) et (Vn U ) définies sur IN par : n n n 3 1 2 + = et Vn = Un+1 3 1 - U 1) a) Montrer que la suite (U n n b) Montrer que la suite (V ) est décroissante n +∞ → nlim )est une suite géométrique puis calculer V n On admet dans la suite que +∞ → nlim Un 2) Pour tout entier naturel n , n = 0 ≥ 2 , on pose Sn 3 3 = + 2 3 5 + 3 3 7 + …………..+ n n 3 1 2 + . a) Calculer ∑ − = 1 1 n k k V en fonction de n puis montrer que : Sn 2 3 . 2 1 − n = 2 - - 2 1 Un b) Déterminer . +∞ → nlim S 3) Pour tout entier naturel n , on pose t n n = ( 2n + 1 ) (tgx)2n 2 π ou x ∈] 0 , [ . a) On prend x ∈ ] 0 , 6 π [ , montrer que pour tout n ∈ IN , on a : tn ≤ Un +∞ → nlim puis calculer t b) * On prend x ∈ ] n 4 π , 2 π [ , montrer que pour tout n ∈ IN , on a : tn ≥ 2n +1 . * En déduire que la suite (tn ) est divergente c) On prend x = 4 π . Pour tout entier naturel n , on pose bn ∑ = + n k k n t 0 2 1 = . Calculer bn +∞ → nlim en fonction de n puis déduire b n 2010/2011 LPM PROF :BENZINA.M uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-controle-n03-lycee-pilote-math-3eme-technique-2010-2011-mr-mohamed-benzina.pdf