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Vibrations § Dynamique des Structures M. CHERKAOUI Professeur de l’enseignement

Vibrations § Dynamique des Structures M. CHERKAOUI Professeur de l’enseignement supérieur FST Errachidia Maroc EIVP Ecole Ingénieurs ville Paris -Ecole des Ponts Paris Tech France Docteur en Sciences de l’ingénieur Université Paris XI Spécialité : Génie civil Et Energétique Professeur de l’enseignement supérieur • Plan du cours: • I - Vibrations libres des systèmes mécaniques à un degré de liberté. • II - Réponse forcée des systèmes mécaniques à un degré de liberté. • III - Systèmes à plusieurs degrés de liberté • IV- Vibration des systèmes mécanique continus • Ce cours est en construction, Merci pour me faire remonter les erreurs afin de l’améliorer. • Eléments de bibliographie • [1] L.L. Beranek, I.L.Vér, Noise and vibration control engineering, J. Wiley, 1992. • [2] D.A. Bies, C.H. Hansen, Engineering noise control (2nd edition), E. and F. N. Spon, 1995. • [3] A.P. Dowling, J.E. Ffowcs-Williams, Sound and sources of sound, Horwood, 1989. • [4] Encyclopedia of vibration, (Tomes 1 à 3), (S.G. Braun, D.J. Ewins, S.S. Rao, éd.), Academic Press,2002. • [5] Fundamentals of noise and vibration,(F. Fahy, J. Walker, éditeurs), E. and F. N. Spon, 1998. • [6] D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice Hall, 1996. • [7] M. Lalanne, J. Der Hagopian, P. Berthier, Mécanique des vibrations linéaires, Masson, 1986 • [8] C. Potel, M. Bruneau, Acoustique générale, Ellipses, 2006. • [9] M.P. Norton, Fundamentals of noise and vibration analysis for engineers, Cambridge University Press, 1989. • [10] S.S. Rao, Mechanical Vibrations (3rd ed.), Addison-Wesley, 1995. • [11] A.A. Shabana, Theory of vibration (2nd ed.), Springer, 1995. •Chapitre 1 : Introduction Introduction • La mécanique vibratoire est l’étude des mouvements répétitifs par apport à une position de référence, généralement la position d’équilibre. • Définition : • Tout mouvement oscillatoire, d'un système mécanique, autour de sa position d'équilibre est appelée mouvement vibratoire. • Les vibrations peuvent être nuisibles et doivent être évitées, comme elles peuvent être utiles, et dans ce cas, souhaitées. • la maîtrise des vibrations indispensable: • comment les analyser; les mesurer et les contrôler est toujourssouhaitée. Ce qui est l’objet de ce cours Exemples d’Oscillateurs • Ils peuvent être de types différents : mécanique, électrique, acoustique: • - structure d'une molécule diatomique. • - la masse accrochée à un ressort, le pendule. • - le circuit électrique RLC. • -balançoire, le balancier d'une horloge. • - tremblement de terre, Sismographe. • - haut-parleur, microphone. • - instruments de musique à vent ou à cordes. -Amortisseur d’une automobile ou d’un motocycle. -Le mouvement des ailes d’un avion. -Le mouvement des grands immeubles, ponts à cause des vents violents. - etc… Premier mode de torsion du pont de Tacoma (des films ont été pris par des amateurs dont on peut trouver les vidéo sur le web) • Modélisationd'un système: • Définition : • La modélisation permet d'analyser des phénomènes réels et de prévoir des résultats à partir de l'application d'une ou plusieurs théories à un niveau d'approximationdonné. • La description mathématique d'un problème d'ingénierie est réalisée en appliquant les lois physiques connues. Il est nécessaire d'introduire des hypothèses qui simplifieront le problème pour que ces lois puissent être appliquées. C'est la partie création du modèle physique. L'application des lois physiques donne des descriptions mathématiques, c'est le modèle mathématique. • Les vibrations sont modélisées mathématiquement, en se basant sur les principes fondamentaux comme les principes d’équilibres dynamiques, et analysées à travers les résultats des équations différentielles (équations de mouvements). Exemple de modélisation de vibrations Modèle réel Modèle physique Bâtiments • But de l’étude: • Éviter les vibrations qui sont à part quelques exceptions une nuisance : • Les grandes amplitudes au voisinage des résonances entraînent des contraintes importantes pouvant aller jusqu’à la détérioration du système: -Le pont (Tacoma). • Les petites amplitudes sur une longue durée peuvent par fatigue altérer les matériaux. • Définitions: • 1) Vibrations : Petites variations provoquées par une excitation d’une grandeur q autour d’une valeur moyenne q0 . • La fonction q(t) décrit la réponse du système à l'excitation appliquée. • Quand l’évolution de l’oscillateur peut-être décrite par n variables indépendantes, l’oscillateur possède n degrés de liberté. • Le système physique est appelé oscillateur lorsque q(t) varie périodiquement. • Un oscillateur est linéaire si son mouvement est décrit par une équation différentielle linéaire. • L ‘oscillateur élémentaire linéaire possède un seul degré de liberté. • Un oscillateur est libre s’il oscille sans interventions extérieures pendant son retour à l’équilibre. • Un oscillateur est forcé si une action extérieure lui communique de l’énergie. • Un oscillateur dissipe de l’énergie quand il retourne vers son état d’équilibre : il est amorti • Exemple de réponse d'un oscillateur : • 1-L'oscillation est de forme quelconque et de période T. La fonction de réponse est telle que: q(t) = q(t+T) • 2) Oscillateur Harmonique: • - La forme des oscillationsest sinusoïdale. • -L'excitation appliquée au système est très brève, elle disparaît dès que le système oscille, Les oscillations sont dites libres (système non entretenu). • -L'énergie totale du système se conserve au cours du temps. • 3) Oscillateur Harmonique amorti: • -Le système physique dissipe de l'énergie : l'énergie totale ne se conserve pas dans le temps.Le système est amorti. • 4) L'oscillateur harmonique forcé: • Le système est soumis à une excitation permanente produite par un dispositif extérieur. Les oscillations sont dites forcées. • 5) L'oscillateur anharmonique: • - Le système évolue suivant une loi périodique de forme quelconque ( non sinusoïdale). • - On montre mathématiquement que toute oscillation périodique se décompose en une somme d'oscillations harmoniques (décomposition de Fourrier). L'oscillateur anharmonique: Rotation Heavy Spot 1 revolution Time Amplitude 0 + - Causes des vibrations 3600 rpm = 3600 cycles per minute 60 Hz = 60 cycles per second 1 order = one times turning speed 360 degrees 1000 rpm 1 revolution Time Amplitude 0 + - 4 blades = vibration occurs 4 times per revolution 4 x 1000 rpm = vibration occurs at 4000 cycles per minute = 4000 cpm 12 tooth gear 1000 rpm 1 revolution Time Amplitude 0 + - 12 teeth are meshing every revolution of the gear 12 x 1000 rpm = vibration occurs at 12,000 cycles per minute = 12,000 cpm = 200 Hz Time 0 + - Time 0 + Time 0 + - - Time 0 - + Time Waveform contains all the different frequencies mixed together AmplitudeFrequency AmplitudeTime Amplitude Time Amplitude Time Frequency Time 0 - Time 0 + Time 0 + - - Time Frequency Frequency Frequency 1x 4x 12x Principles causes: Disequilibria =imbalance Rotation Heavy Spot Center of Mass Center of Shaft Center of Shaft = Center of Mass Imbalance can be separated into two components: Types of Imbalance Static Imbalance: Couple Imbalance: o (constant across rotor) (opposite across rotor) What is misalignment? Deviation from a common centerline during operation. BEFORE AFTER GRRR! hmmm! Types of Misalignment Offset Angular Both Bearing Fault Frequencies Function of the Geometry of the Bearing Outer Race (BPFO) Inner Race (BPFI) Ball Spin (BSF) Cage (FTF) Signal Acquisition & Understanding the Vibration Spectrum Transducer Overall Energy Waveform Amplitude Time FFT Spectrum Amplitude Frequency Frequency Amplitude How the Vibration Spectrum is Created Time Amplitude Time Amplitude FFT (Fast Fourier Transform) Partie I Système à un degré de liberté Chapitre 1 Vibrations linéaires libres non amorties (conservatives) • Le régime libre décrit le comportement du système après un lâcher initial, sans fourniture ultérieure d’énergie par une force extérieure. Donc à l’instant initial t=0, on déplace la masse à x(0)=Xo (élongation initiale) et le système est abandonné à lui-même avec vitesse initiale Vo . • La façon dont le système est mis en mouvement s’appelle « Conditions Initiales » (CI) : • 1.1 Modèle de base du système mécanique • Fig. 1.1 Oscillateur élémentaire conservatif à un degré de liberté non amorti. • Composé par : - la masse ponctuelle (m), • - ressort de raideur ou rigidité (k) et longueur naturelle lo . • (O,X,Y): repère fixe ou supposé Galiléen. • Ressort : • Définition : Système mécanique d’application d’effort proportionnel à « k » et opposé à sa variation de longueur. • Par hypothèse on suppose que la masse du ressort est négligeable par rapport à la masse « m » du système et que les liaisons sont parfaites . • Soit x(t) le paramètre d’état, élongation du ressort par rapport à sa position d’équilibre, l’origine O. • En appliquant le théorème de centre de gravité (théorème de la résultante dynamique) à la • masse « m » en mouvement de translation on a : • (1) • Cette dernière équation est une équation différentielle de second ordre homogène à coefficients constants. Elle régit le comportement vibratoire du système mécanique et elle est souvent écrite sous la forme : • pulsation propre du système conservatif, appelée aussi pulsation naturelle ou fondamentale . • La solution de cette équation donnant le déplacement de la masse est cherchée sous différentes formes : • -Combinaison linéaire de deux fonctions harmoniques: • combinaison linéaire de deux uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-de-vibrations.pdf