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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Djillali Liabès – Sidi Bel-Abbès Faculté des Sciences de l’Ingénieur Département d'Electrotechnique Partie 1 Cours d'Asservissements Linéaires Continus Niveau : 4ème Année Ingénieur d'Etat en Electrotechnique Options : Réseaux Electriques Machines Electriques Commande électrique Maintenance industrielle Dernière mise à jour : Septembre 2007 Préparé et enseigné par : Prof. Mohammed-Karim FELLAH Professeur de l'enseignement Supérieur Cours d'asservissements linéaires continus (2007-2008) Prof. FELLAH M.K. 2 AVANT–PROPOS Ce document s'adresse aux étudiants de la formation d'ingénieur dans le cadre du programme officiel. Mais bien entendu il peut être étudié par tous ceux en 1er cycle, en 2ème cycle, ou même en post-graduation, qui désirent approfondir leurs connaissances ou avoir un document de base en matière d'asservissement. La commande et l'interprétation du comportement de procédés industriels ou de phénomènes physiques naturels font partie des tâches qui incombent à l'ingénieur. Ce dernier est confronté à une réalité qu'il lui faudra domestiquer et/ou comprendre pour en tirer le meilleur parti. Au centre de cette connaissance se trouve le concept de système, concept que l'on retrouve dans un grand nombre de disciplines et techniques : contrôle de procédé, techniques d'optimisation, traitement du signal, filtrage, mathématique des équations différentielles, etc. Dans le cadre de ce cours, nous nous intéressons principalement à l'étude des "systèmes" à la fois continus et linéaires, qui sont représentés sous forme de fonction de transfert (représentation externe, dite encore de la "boîte noire") ; ces trois conditions volontairement limitatives permettent d'introduire de façon simple les principaux concepts de l'automatique. Ce texte constitue la transcription fidèle d'un cours oral magistral traité au département d'Electrotechnique, à l'université de Sidi Bel-Abbès pour les étudiants en formation d'ingénieur d'état en Electrotechnique. Le but recherché n'est donc pas d'épuiser le sujet, mais d'essayer d'en dégager les idées essentielles, simplifiées, quant cela est nécessaire, dans un but didactique. En conséquence, l'accent est mis sur les explications physiques et les exemples, plutôt que sur les démonstrations, mais celles-ci sont également traitées en détail surtout lorsqu'elles sont indispensables à la bonne compréhension du résultat. Pr. FELLAH Mohammed-Karim Cours d'asservissements linéaires continus (2007-2008) Prof. FELLAH M.K. 3 SOMMAIRE CHAPITRE 1 : INTRODUCTION AUX ASSERVISSEMENTS .................................... 7 1- 1 - Introduction à l’automatique ........................................................................................................................ 7 1- 1.1 - Exemple .................................................................................................................................................... 7 1- 1.2 - Classification ............................................................................................................................................ 7 1- 1.3 - Systèmes continus et invariants ................................................................................................................ 9 1- 1.4 - Evolution de l'automatique ....................................................................................................................... 9 1- 2 - Boucle de régulation ...................................................................................................................................... 9 1- 2.1 - Notion d'asservissement ............................................................................................................................ 9 1- 2.2 - Systèmes bouclés et non bouclés ............................................................................................................ 10 1- 2.3 - Définitions – Constitutions élémentaires ................................................................................................ 12 1- 2.4 - Régulation et systèmes asservis .............................................................................................................. 14 1- 3 - Linéarité des asservissements ..................................................................................................................... 14 1- 3.1 - Généralités .............................................................................................................................................. 14 1- 3.2 - Non–linéarités accidentelles ................................................................................................................... 14 1- 3.3 - Non–linéarités essentielles ...................................................................................................................... 15 1- 3.4 - Propriétés des systèmes linéaires ............................................................................................................ 17 1- 4 - Régimes transitoires des asservissements .................................................................................................. 17 1- 4.1 - Définitions .............................................................................................................................................. 17 1- 4.2 - Performances d'un système asservi ......................................................................................................... 17 1- 5 - Mise en équation d'un système - Résolution ............................................................................................ 18 1- 5.1 - Mise en équation ..................................................................................................................................... 18 1- 5.2 - Utilisation de la transformée de Laplace ................................................................................................. 19 CHAPITRE 2 : NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT ...................................... 20 2- 1 - Introduction .................................................................................................................................................. 20 2- 2 - Fonction de transfert d'un ensemble d'éléments ....................................................................................... 21 2- 2.1 - Eléments en série (ou cascade) ............................................................................................................... 21 2- 2.2 - Eléments en parallèle .............................................................................................................................. 21 2- 2.3 - Cas d'un système à n entrées indépendantes ........................................................................................... 22 2- 3 - Fonction de Transfert en Boucle Fermée ( FTBF ) ............................................................................... 22 2- 4 - Fonction de transfert en boucle ouverte ( FTBO ) ................................................................................ 23 2- 5 - Influence de la charge sur la fonction de transfert d'un système asservi ................................................ 24 2- 6 - Fonction de transfert d'un système à boucles multiples ........................................................................... 24 2- 7 - Formes générales de la Fonction de Transfert d'un système linéaire ...................................................... 25 2- 7.1 - Autres formes d'écriture .......................................................................................................................... 26 2- 8 - Règles de transformation des schémas fonctionnels ................................................................................. 27 CHAPITRE 3 : METHODES D'ETUDES DES ASSERVISSEMENTS ...................... 30 3- 1 - Introduction .................................................................................................................................................. 30 3- 2 - Entrées canoniques ...................................................................................................................................... 30 3- 2.1 - Echelon unité .......................................................................................................................................... 30 3- 2.2 - Echelon de vitesse ( rampe unité ) .......................................................................................................... 30 3- 2.3 - Echelon d'accélération ............................................................................................................................ 31 3- 2.4 - Impulsion unitaire ................................................................................................................................... 32 Cours d'asservissements linéaires continus (2007-2008) Prof. FELLAH M.K. 4 3- 2.5 - Entrée harmonique .................................................................................................................................. 33 3- 3 - Réponse d'un système asservi aux entrées canoniques ............................................................................. 33 3- 3.1 - Réponse du système à une impulsion unitaire : réponse impulsionnelle ................................................ 33 3- 3.2 - Réponse du système à un échelon unité : réponse indicielle ................................................................... 34 3- 3.3 - Réponse fréquentielle .............................................................................................................................. 35 3- 4 - Représentation de la réponse fréquentielle ................................................................................................ 35 3- 4.1 - Courbes de Bode et diagrammes asymptotiques ..................................................................................... 35 3- 4.2 - Courbe de Nyquist ou lieu de Nyquist .................................................................................................... 37 3- 4.3 - Courbe amplitude – phase ou lieu de Black (ou Black – Nichols) .......................................................... 37 3- 5 - Etude des systèmes du premier ordre ........................................................................................................ 39 3- 5.1 - Définition ................................................................................................................................................ 39 3- 5.2 - Réponse indicielle ................................................................................................................................... 39 3- 5.3 - Réponse à une rampe ( échelon de vitesse) ............................................................................................. 40 3- 5.4 - Réponse à une impulsion unité ............................................................................................................... 40 3- 5.5 - Réponse fréquentielle .............................................................................................................................. 41 3- 5.6 - Exemples de systèmes du 1er ordre ......................................................................................................... 44 3- 6 - Etude des systèmes du second ordre .......................................................................................................... 47 3- 6.1 - Définition ................................................................................................................................................ 47 3- 6.2 - Réponse à un échelon unité ..................................................................................................................... 48 3- 6.3 - Réponse à une impulsion unité ............................................................................................................... 51 3- 6.4 - Réponse fréquentielle .............................................................................................................................. 52 3- 7 - Systèmes à déphasage minimum et systèmes à déphasage non minimum .............................................. 57 CHAPITRE 4 : STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES.................... 60 4- 1 - Notion de stabilité d'un système ................................................................................................................. 60 4- 1.1 - Définition de la stabilité .......................................................................................................................... 60 4- 1.2 - Aspect mathématique de la stabilité ........................................................................................................ 61 4- 1.3 - Conditions de stabilité ............................................................................................................................. 62 4- 1.4 - Etude de la stabilité d'un système bouclé ................................................................................................ 63 4- 2 - Critère de Routh - Hurwitz ......................................................................................................................... 64 4- 2.1 - Enoncé du critère .................................................................................................................................... 64 4- 2.2 - Exemple 1 ............................................................................................................................................... 66 4- 2.3 - Exemple 2 (ligne complète de zéros) ...................................................................................................... 66 4- 2.4 - Exemple 3 (un zéro sur la première colonne) ......................................................................................... 67 4- 3 - Critère de Nyquist ........................................................................................................................................ 68 4- 3.1 - Énoncé du critère de Nyquist .................................................................................................................. 68 4- 3.2 - Exemple .................................................................................................................................................. 69 4- 3.3 - Critère de Nyquist simplifié (critère du Revers) ..................................................................................... 70 4- 4 - Marges de stabilité ....................................................................................................................................... 70 4- 4.1 - Valeurs usuelles de Δϕ et ΔG ............................................................................................................... 71 4- 4.2 - Critère de Stabilité utilisant les courbes de Bode et de Black ................................................................. 72 4- 4.3 - Marge de stabilité appliquée à la position des pôles de la FTBF ............................................................ 72 CHAPITRE 5 : PERFORMANCES DES ASSERVISSEMENTS ............................... 73 5- 1 - Introduction .................................................................................................................................................. 73 5- 2 - Performances Statiques des Systèmes bouclés........................................................................................... 73 5- 2.1 - Erreur statique ......................................................................................................................................... 73 5- 2.2 - Gain statique en boucle fermée ............................................................................................................... 77 5- 2.3 - Exemple .................................................................................................................................................. 77 5- 3 - Performances Dynamiques des Systèmes bouclés ..................................................................................... 79 5- 3.1 - Remarques sur les caractéristiques de la réponse transitoire................................................................... 80 Cours d'asservissements linéaires continus (2007-2008) Prof. FELLAH M.K. 5 5- 3.2 - Caractéristiques de la réponse transitoire des systèmes du 2nd ordre ...................................................... 80 5- 3.3 - Relations Boucle Ouverte – Boucle Fermée à retour unitaire ................................................................. 86 5- 4 - Effets de l'addition de pôles et de zéros aux fonctions de transfert ......................................................... 90 5- 4.1 - Addition d'un pôle supplémentaire à la chaîne directe d'un système asservi à retour unitaire ................ 90 5- 4.2 - Addition d'un pôle supplémentaire à la fonction de transfert en boucle fermée ..................................... 92 5- 4.3 - Addition d'un zéro supplémentaire à la fonction de transfert en boucle fermée ..................................... 93 5- 4.4 - Addition d'un zéro supplémentaire à la chaîne directe d'un système à retour unitaire ............................ 94 5- 5 - Pôles dominants des fonctions de transfert ................................................................................................ 96 CHAPITRE 6 : LIEU D'EVANS (LIEU DES RACINES OU LIEU DES POLES) ...... 97 6- 1 - Introduction .................................................................................................................................................. 97 6- 2 - Propriétés de base du lieu des racines ........................................................................................................ 98 6- 2.1 - Condition sur l'angle et condition sur le module ..................................................................................... 98 6- 2.2 - Exemple .................................................................................................................................................. 99 6- 3 - Règles de tracé du lieu d'Evans ................................................................................................................ 102 6- 3.1 - Généralités ............................................................................................................................................ 102 6- 3.2 - Règles de tracé du lieu d'Evans ............................................................................................................. 102 6- 3.3 - Exemple 1 ............................................................................................................................................. 106 6- 3.4 - Exemple 2 ............................................................................................................................................. 107 6- 4 - Sensibilité du lieu d'Evans aux variations des Configurations pôles–zeros .......................................... 110 6- 5 - Simplification d'un pôle de G(p) par uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-asservissement-pdf.pdf