Ecole hassania des travaux publics Ann ee acad emique :2015/2016 Math ematiq

Ecole hassania des travaux publics Ann ee acad emique :2015/2016 Math ematiques Le 30/12/2015 R evision d'Analyse Complexe Corrig´ e des examens de Mr.Kabbaj1 Exercice 1 (Contˆ ole 2,le 16/12/2006) : ' & $ % 1. Calculer l’int´ egrale suivante : Z 2π 0 sin(3θ) 5 −3 cos(θ)dθ 2. Calculer l’int´ egrale : Z ∞ 0 ln(x) 1 + x2dx En utlisant le chemin suivant : Figure 1: Le chemin de calcul Solution 1 : 1. Posons I = Z 2π 0 sin(3θ) 5 −3 cos(θ)dθ,puis faisons le changement de variable z = eiθ ,notre contour est le cercle unit´ e parcouru dans le sens trigonom´ etrique γ+. On a donc dz = ieiθdθ = izdθ = ⇒dθ = dz iz Or on a : ( cos(θ) = eiθ+e−iθ 2 = z2+1 2z sin(θ) = eiθ−e−iθ 2i = z2−1 2iz 1AL ABDALI Abdelhamid Promotion GC 2017 1 Donc on trouve : I = Z 2π 0 sin(3θ) 5 −3 cos(θ)dθ = I γ+ 1 2i z3 −1 z3
5 −3 2(z + 1 z) dz iz = I γ+ z6 −1 2z3(3z2 −10z + 3)dz = I γ+ f(z)dz Or d’apr` es le th´ eor` eme de r´ esidus on a : I γ+ f(z)dz = X zk∈int(γ+) 2πiRes(f, zk) Les pˆ oles de f (les racines du d´ enominateur) sont : z0 = 0 ∈int(γ+), z1 = 1 3 ∈int(γ+) et z2 = 3 / ∈int(γ+) Soit : I γ+ f(z)dz = 2πi (Res(f, 0) + Res(f, 1/3)) = 0 Car : (Res(f, 1/3) = ((z −1/3)f(z))z=1/3 =?? et (Res(f, 0) = 1 (3−1)! [(z −0)f(z)](3−1) (z = 0) =?? 2. Posons f(z) = ln(z) 1+z2 ,le contour d’int´ egration ´ etant le chemin d´ efinie ci-dessus .Int´ egrons donc sur le chemin consid´ er´ e : I = I γ+ f(z)dz = Z [r,R] S C(0,R) S[−R,r] S C(0,r) f(z)dz = Z [r,R] f(z)dz + Z C(0,R) f(z)dz + Z [−R,−r] f(z)dz + Z C(0,r) f(z)dz = Z R r f(x)dx + Z π 0 f(Reiθ)iReiθdθ − Z r R f(−x)dx − Z π 0 f(reiθ)dθ Pour l’int´ egrale Z π 0 f(Reiθ)iReiθdθ ,on montre facilement qu’il tend vers 0 quand R − → +∞,En effet : Z π 0 f(Reiθ)iReiθdθ ≤ Z π 0 R q π2 + ln2(R) R2 −1 dθ = πR p π2 + ln2 R R2 −1 − →R− →+∞0 Faisons (r, R) − →(0, +∞) : Alors pour le deuxi` eme int´ egrale: Z π 0 f(reiθ)ireiθdθ ,ona : Z π 0 f(reiθ)ireiθdθ ≤ Z π 0 | r q π2 + ln2(r) 1 −r2 |dθ ≤πr √ π2 + r2 1 −r2 − →r− →0 0 Faisons (r, R) − →(0, +∞) : 2 I = Z γ+ f(z)dz = Z R r f(x)dx + t=−x z }| { − Z r R f(−t)dt , (ln(−x) = ln(eiπx) = iπ + ln(x)) = Z ∞ 0 ln(x) 1 + x2dx + Z ∞ 0 iπ + ln(x) 1 + x2 dx = 2 Z ∞ 0 ln(x) 1 + x2dx + Z ∞ 0 iπ 1 + x2dx = iπ2 2 + 2 Z ∞ 0 ln(x) 1 + x2dx Appliquons maintenant le th´ eor` eme des r´ esidus on a : I γ+ f(z)dz = X zk∈int(γ+) 2πiRes(f, zk) La fonction f poss` ede deux poles −i et i ,mais seulement i ∈int(γ+)(Demi plan sup´ erieur ) Donc : I γ+ f(z)dz = 2πiRes(f, i) = 2π(ln(i) 2i ) = 2πi(i π 2 2i ) = iπ2 2 Finalement Z ∞ 0 ln(x) 1 + x2dx = 0. (Remarquer que : Z ∞ 0 ln(x) 1 + x2dx = Z 1 0 ln(x) 1 + x2dx+ Z ∞ 1 ln(x) 1 + x2dx = Z 1 0 ln(x) 1 + x2dx+ Z 0 1 ln( 1 t) 1 + t−2 −dt t2 = 0) EXERCICE 2 (Contˆ ole 2,le 24/12/2008) : ' & $ % 1. Trouver le d´ evelopement de Laurent de la fonction f autour z0 = −2: f(z) = +∞ X n=−∞ an(z −z0)n, f(z) = z (z + 1)(z + 2) 2. Calculer l’int´ egrale : I Γ+ dz 1 + z3 Γ+ ´ etant l’ellipse :2x2 + y2 = 3 2 3. Calculer l’int´ egrale : Z 2π 0 cos2n(θ)dθ Rappel : (1 + z2)2n = 2n X k=0 Ck 2nz2k Solution 2: 1. Posons u = z + 2,on a donc : f(u) = u−2 u(u−1) = 2 u + 1 1−u 3 Or : 1 1 −u = +∞ X n=0 un Donc : f(u) = 2 u + 1 1 −u = 2 u + +∞ X n=0 un Les cofficients an dans +∞ X n=−∞ an(z −z0)n sont donn´ es par : an =    1 si n ≥0 2 si n = −1 0 si n ≺−1 2. Appliquons maintenant le th´ eor` eme de r´ esidus on a : I γ+ f(z)dz = X zk∈int(γ+) 2πiRes(f, zk) La fonction f poss` ede trois poles −1, e−i π 3 et ei π 3 ,mais seulement les deux derniers ∈ int(γ+) On a donc : I Γ+ dz 1 + z3 = 2πi(Res(f, e−i π 3 ) + Res(f, ei π 3 )) = 2πi( 1 3e−2i π 3 + 1 3e2i π 3 ) = 2πi(−1 3 ) = −2πi 3 3. Soit n ≥0 ,on proc` ede comme l’exercice 1 : Faisons le changement de variable z = eiθ ,notre contour est le cercle unit´ e parcouru dans le sens trigonom´ etrique γ+. On a donc dz = ieiθdθ = izdθ = ⇒dθ = dz iz Or on a : ( cos(θ) = eiθ+e−iθ 2 = z2+1 2z sin(θ) = eiθ−e−iθ 2i = z2−1 2iz Donc on trouve : I = Z 2π 0 cos2n(θ)dθ = I γ+(z2 + 1 2z )2ndz iz = I γ+ 1 iz(2z)2n 2n X k=0 Ck 2nz2kdz = I γ+ 1 iz2n+122n 2n X k=0 Ck 2nz2kdz = I γ+ 2n X k=0 1 iz2n+122nCk 2nz2kdz = 1 i22n I γ+ 2n X k=0 Ck 2nz2k−2n−1dz = 1 i22n( 2n X k̸=n I γ+ Ck 2nz2k−2n−1dz + I γ+ Cn 2nz2n−2n−1dz) = 1 i22n(0 + 2πiCn 2n) 4 EXERCICE 3 (Rattrapage ,le 11/04/2009) : ' & $ % 1. Soit n ∈N∗,γ+ n l’ellipse parcourue dans le sens directe d’´ equation 4x2+y2 = 4n2,calculer I γ+ f(z)dz, f est donn´ ee par : f(z) = 1 (z2 −e(1 + i)z + ie2)3 Solution 3: 1. Le chemin d’int´ egration : 4x2 + y2 = 4n2 = ⇒ x n
2 + y 2n
2 = 1 . 2. Les pˆ oles de f : Sont les racines du d´ enominateur . On a z2 −e(1 + i)z + ie2 = z2 −ez −eiz + ie2 = z(z −e) −ie(z −e) = (z −e)(z −ei). Donc les pˆ oles (triples) de f sont :  z0 = e z1 = ie 3. Calculs des r´ esidus : Comme z0 et z1 sont des pˆ oles triples (m = 3) ,le r´ esidu de f en chacun de ces pˆ oles est calcul´ e par la formule suivante : Res(f, a) = lim z− →a 1 (m −1)! [(z −a)mf(z)](m−1) Donc :      Res(f, e) = lim z− →e 1 2!  (z −e)3f(z) (2) = lim z− →e 1 2  (z −ei)−3(2) = lim z− →e 1 2  6(z −ei)−5 Res(f, ie) = lim z− →ie 1 2!  (z −ei)3f(z) (2) = lim z− →ie 1 2  (z −e)−3(2) = lim z− →ie 1 2  6(z −e)−5 Soit :      Res(f, e) = 1 2  6(e −ei)−5 = 3( √ 2ee−i π 4 )−5 Res(f, ie) = 1 2  6(ei −e)−5 = −Res(f, e) 4. Calcul de In = I γ+ n f(z)dz : Plusieurs cas ` a discuter : (a) Si n = 1, z0, z1 / ∈int(γ+ n ) ,la fonction f est par cons´ equent holomorphe sur int(γ+ n ), donc In = I γ+ n f(z)dz = 0 . (b) Si n = 2 ,z0 / ∈int(γ+ n ) et z1 ∈int(γ+ n ) ,d’apr` es le th´ eor` eme des r´ esidus : I2 = I γ+ 2 f(z)dz = 2πiRes(f, ie) = 2πi × −3( √ 2ee−i π 4 )−5 (c) Si n ≥3 ,z0, z1 ∈int(γ+ n ) , d’apr` es le th´ eor` eme des r´ esidus : In = I γ+ n f(z)dz = 2πi [Res(f, e) + Res(f, ie)] = 0 5 EXERCICE 4 (Contˆ ole 2,le 22/01/2014) : ' & $ % 1. Trouver le d´ evelopement de Laurent de la fonction f autour z0 = −2: f(z) = +∞ X n=−∞ an(z −z0)n, f(z) = z (z2 + 1)(z2 + 2) Pour : (a) 1 ≺|z| ≺ √ 2 (b) |z| ≻ √ 2 2. Calculer l’int´ egrale suivante : Z 2π uploads/Ingenierie_Lourd/ corrige-kabbaj 1 .pdf

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• Publié le Fev 20, 2022
• Catégorie Heavy Engineering/...
• Langue French
• Taille du fichier 0.3051MB