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Hors programme lycée/Vecteurs 1. Base non orthogonale : (+2 exercices pour les

Hors programme lycée/Vecteurs 1. Base non orthogonale : (+2 exercices pour les enseignants) Exercice 513 Dans le plan muni d'un repère (O ; − → i ; − → j ) quelconque, on considère les trois points suivants dé nis par leurs coordon- nées: A(5 ; −2) ; B(−3 ; −1) ; C(−5 ; 3) 1. a. Déterminer les coordonnés du point M véri ant la relation suivante: 7·− − → BM = 7 3·− − → CM b. Placer le point M dans le repère. Véri er graphique- ment que les trois points B, C et M sont alignés. 2. a. Déterminer les coordonnés du point G véri ant la relation vectorielle: − → GA+− − → GB+− − → GC =− → 0 b. Placer le point G dans le repère. c. Tracer les trois médianes du triangle ABC. Que remarque-t-on? − → i − → j -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 Exercice 497 On munit le plan d'un repère (O ; − → i ; − → j ) quelconque représenté ci-dessous: − → i − → j -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 1 2 3 4 5 1. Tracer un représentant de chacun des deux vecteurs: − → u (5 ; 2) ; − → v (−3 ; −2) 2. a. Tracer un représentant du vecteur − → w dé nie par: − → w = − → u + − → v b. Graphiquement, déterminer les coordonnées du vecteur − → w . c. Comparer les coordonnées du vecteur − → w relativement à celles des vecteurs − → u et − → v . 2. Repères choisis : (+2 exercices pour les enseignants) Exercice 2896 Dans le plan, on considère un parallélogramme ABCD et les deux points E et F dé nis par les relations: − → AE = 5 3 · − − → AD ; − → AF = 5 2 · − − → AB 1. Tracer une représentation de cette con guration. 2. On munit le plan du repère (A ; − − → AB ; − − → AD). a. Donner, sans justi cation, les coordonnées des points F, C et E. b. Démontrer que les points E, C et F sont alignés. Exercice 502 On considère un trapèze ABCD véri ant l'égalité vectorielle: − − → DC = 1 3 − − → AB. On note I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. Les droites (AC) et (BD) se coupent en M et les droites (AD) et (BC) se coupent en N. 1. a. Tracer une représentation de cette con guration. b. Emettre une conjecture quant à la position relative des points I, J, M, N? On munit le plan du repère ( A ; − − → AB ; − − → AD ) quelconque: 2. Déterminer les coordonnées des points: A ; B ; D ; I ; C ; J Hors programme lycée - Vecteurs - https ://chingatome.fr 3. a. A quel axe appartient le point N? En déduire l'abscisse du point N. b. On note α l'unique nombre réel positif réalisant l'égalité: DN = α·DA A l'aide du théorème de Thalès, déterminer la valeur de α. c. En déduire les coordonnées du point N. 4. a. Démontrer que: AM = 3 4·AC. b. En déduire les coordonnées du point M. 5. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs − − → NJ, − → NI et − − → NM. b. Con rmer la conjecture faite à la question 1. b. . 3. Autour du centre de gravité d'un triangle : (+1 exercice pour les enseignants) Exercice 2895 1. Dans le plan, placer trois points A, B, C non-alignés et le point I milieu du segment [AB]. 2. a. Placer le point M tel que: − − → AM =2·− − → MC. b. Placer le point N tel que: − − → CN =− → CA+− − → CB 3. a. Placer le point G centre de gravité du triangle ABC. b. En utilisant la position du point G sur la médiane [CI], établir l'égalité suivante: − → GA + − − → GB + − − → GC = − → 0 4. On munit le plan du repère (A ; − − → AB ; − → AC) quelconque. a. Donner, sans justi cation, les coordonnées des points A, B, C, I, M et N. b. En utilisant l'égalité vectorielle: − → IC =− → AC−− → AI démontrer que le point G a pour coordonnées: G 1 3 ; 1 3 4. Manipulations algébriques : (+2 exercices pour les enseignants) Exercice 505 On considère un parallélogramme quelconque ABCD. On note I, J, K, L les milieux respectifs des segments [AD], [AB], [BC] et [CD]. Etablir les deux relations suivantes: a. − → IJ + − → IL = − − → DC b. 2 · − → AJ + − − → BD + − → JB = − → JC Exercice 2056 1. Placer deux points A et B dans le plan. 2. On considère le point M dé nie par la relation 2 · − − → AM −3 · − − → MB = − → 0 a. Donner une expression du vecteur − − → AM en fonction du vecteur − − → AB. b. Placer le point M dans le plan. 5. Repère choisi : Exercice 4591 On considère le carré ABCD représenté ci-dessous: A B C D I J K L Ses quatre côtés ont été partagés en quatre parts égales. On considère le quadrilatère IJKL représenté dans la gure véri- ant: BI = CJ = DK = AL = 1 4·AD On considère le plan muni du repère (A ; D ; B). 1. Donner les coordonnées des huit points de cette gure. 2. Démontrer que le quadrilatère IJKL est un parallélo- gramme. 3. Démontrer que le parallélogramme IJKL est un rectan- gle. 4. Démontrer que le rectangle IJKL est un carré. Hors programme lycée - Vecteurs - https ://chingatome.fr 255. Exercices non-classés : Exercice 517 Dans un un repere (O ; − → i ; − → j ), on considère les points: A(3 ; −5) ; B(−2 ; 0) ; C(147 ; −13) ; D(−53 ; 187) Etablir que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Hors programme lycée - Vecteurs - https ://chingatome.fr uploads/Ingenierie_Lourd/ chingatome-hors-programme-lycee-vecteurs.pdf