UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 13 . . OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-D

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 13 . . OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fann-S´ en´ egal Serveur Vocal: 628 05 59 T´ el´ efax (221) 864 67 39 - T´ el. : 824 95 92 - 824 65 81 09 G 18bis A 01 Dur´ ee: 4 heures S´ eries : S1-S3 - Coeff. 8 . . Epreuve du 1er groupe M A T H E M A T I Q U E S Les calculatrices ´ electroniques non imprimantes avec entr´ ees unique par clavier sont autoris´ ees. Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des trac´ es de courbe sont interdites. Leur utilisation sera consid´ er´ ee comme une fraude.(CF.Circulaire n0 5990/OB/DIR. du 12 08 1998) EXERCICE 1 (4 pts). Pendant l’ann´ ee scolaire, la cantine d’un lyc´ ee propose souvent du riz. Le premier jour de l’ann´ ee, il y’a deux 2 chances sur 5 qu’elle propose du riz. Si elle en propose un jour, il y a une chance sur 3 qu’elle en propose le lendemain. Si elle n’en propose pas un jour, il y a une chance sur 3 qu’elle n’en propose pas le lendemain. On appelle Jn l’´ ev´ enement ”la cantine propose du riz le ni` eme jour” et Kn l’´ ev´ enement ”la cantine n’en propose pas le ni` eme jour”. Soit pn la probabilit´ e de l’´ ev´ enement Jn. 1. D´ eterminer p  J2/J1  et p  J2/K1  . En d´ eduire p2. 0,25+0,5+0,5=1,25 pt 2. Montrer que pn = −1 3pn−1 + 2 3. 0,75 pt 3. Soit (un)n∈N∗la suite d´ efinie par un = pn −1 2. a) Montrer que (un)n∈N∗est une suite g´ eom´ etrique dont on donnera le premier terme et la raison. 0,5 pt b) Calculer un puis pn en fonction de n. 0,5 +0,25= 0,75 pt c) Un ´ el` eve de l’´ etablissement, fin math´ ematicien, ne mange ` a la cantine que les jours pairs. Montrer qu’` a chaque fois qu’il se rend ` a la cantine la probabilit´ e qu’il a de manger du riz est comprise entre 1 2 et 8 15. 0,75 pt EXERCICE 2 (4 pts). Dans un syst` eme de num´ eration de base a, on consid` ere les nombres A = 211, B = 312 et C = 133032. 1. Expliquer pourquoi a doit ˆ etre strictement sup´ erieur ` a 3. 0,25 pt 2. a) Sachant que C = A × B, montrer que a3 −3a2 −2a −8 = 0. 0,5 pt b) En d´ eduire que a divise 8. 0,25 pt c) D´ eterminer alors a. 0,5 pt 3. L’´ ecriture d’un nombre dans le syst` eme d´ ecimal est 214, ´ ecrire ce nombre dans la base 4. 0,25 pt 4. Dans cette question on suppose que a = 4. a) Ecrire A, B et C dans le syst` eme d´ ecimal. 0,75 pt b) Montrer alors que C = A × B = ppcm (A, B). En d´ eduire que l’´ equation : Ax + By = 1 a des solutions dans Z2. 0,25+0,5=0,75 pt 1 2 M A T H E M A T I Q U E S 2 /13 09 G 18 bis A 01 S´ eries : S1- S3 Epreuve du 1er groupe . . 5. On consid` ere dans Z2 l’´ equation : 37x + 54y = 1. a) V´ erifier que (19, −13) est une solution de cette ´ equation. 0,25 pt b) R´ esoudre cette ´ equation. 0,5 pt PROBLEME (12 points). Le probl` eme est compos´ e de trois parties A, B et C. Les parties B et C peuvent ˆ etre trait´ ees ind´ ependamment de la partie A Le plan euclidien (P) est muni d’un rep` ere orthonorm´ e R = (O, − → i , − → j ) On appelle fa la fonction num´ erique de la variable r´ eelle x d´ efinie par : fa(x) = x ax −a + 1, o` u a est un r´ eel diff´ erent de 0 et de 1. On note Ca la courbe repr´ esentative de fa dans le rep` ere R. Partie A: (5,5 pts) 1. a) Montrer que l’application ϕ de (P) dans (P) d´ efinie analytiquement par :  x′ = −y + 1 y′ = −x + 1 est la compos´ ee d’une sym´ etrie orthogonale et d’une translation que l’on pr´ ecisera. 0,5 pt b) D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition Dfa de fa et montrer que la courbe Ca est globale- ment invariante par ϕ. 0,5 pt 2. a) Montrer que toutes les courbes Ca passent par deux points fixes ind´ ependants de a. 0,25 pt b) D´ eterminer les points fixes de fa, c’est ` a dire les r´ eels ℓtels que fa(ℓ) = ℓ. 0,25 pt 3. a) Etudier les variations de fa ; on discutera suivant les valeurs de a. 0,5 pt b) Construire dans le rep` ere R les courbes C−2, C0,5 (On prendra pour unit´ e graphique 1 cm). 0,5+0,25=0,75 pt c) Construire dans un mˆ eme rep` ere orthonorm´ e d’ unit´ e graphique 2 cm les courbes C1,5 et C2. 0,25+0,25=0,5 pt 4. Soit F la fonction de ] −∞, 1[ dans R d´ efinie par : F(a) = Z 1 0 fa(x) dx et F(0) = Z 1 0 x dx. a) Montrer que pour tout a < 1 et a ̸= 0, la fonction x 7→ax −a + 1 est strictement positive dans [0, 1]. Etablir alors que la fonction F est d´ efinie sur ] −∞, 1[. 0,25+0,25=0,5 pt b) En faisant le changement de variable t = ax −a + 1, v´ erifier que pour tout a diff´ erent de 0 et strictement inf´ erieur ` a 1 on a : F(a) = 1 a + 1 −a a2 ln(1 −a). D´ eterminer alors lim a→1−F(a) et lim a→−∞F(a). 0,25 × 3=0,75 pt c) D´ emontrer que pour tout a diff´ erent de 0 et strictement inf´ erieur ` a 1 on a : ∀x ∈[0, 1], fa(x) ∈[0, 1]. 0,25 pt d) En utilisant le r´ esultat de la question c), montrer que pour tout a diff´ erent de 0 et strictement inf´ erieur ` a 1 on a : M A T H E M A T I Q U E S 3 /13 09 G 18 bis A 01 S´ eries : S1- S3 Epreuve du 1er groupe . . 3 ∀x ∈[0, 1], |fa(x) −x| ≤|a|. Calculer alors lim a→0 F(a) −F(0) puis lim a→0F(a). La fonction F est-elle continue au point 0 ? 0,25 × 3=0,75 pt Partie B: (4 pts) On note Ωa le point de coordonn´ ees  1−1 a, 1 a  dans le rep` ere R et on consid` ere les vecteurs − → e1 = 1 √ 2 (− → i −− → j ) et − → e2 = 1 √ 2 (− → i + − → j ) 1. a) Montrer que Ra = (Ωa, − → e1, − → e2) est un rep` ere orthonorm´ e du plan. 0,25 pt b) Soit M un point du plan de couple de coordonn´ ees (x, y) dans le rep` ere R. Appelons (X, Y ) son couple de coordonn´ ees dans le rep` ere Ra. En utilisant la relation vectorielle : − − → OM = − − → OΩa + − − − → ΩaM, montrer que :      x = 1 −1 a + 1 √ 2(X + Y ) y = 1 a + 1 √ 2 (−X + Y ) 0,5 pt c) V´ erifier que la courbe (Ca) a pour ´ equation Y 2 −X2 = 2(a −1) a2 dans le rep` ere Ra. 0,5 pt d) D´ eterminer la nature de Ca; pr´ eciser ses sommets Sa et S ′ a suivant les valeurs de a. 0,25+0,5=0,75 pt 2. Soit (D) la droite d’´ equation y = −x + 1 dans le rep` ere R. Montrer que (Ca) a ses sommets sur (D) si et seulement si a < 1. 0,5 pt 3. On suppose que a > 1. a) Calculer en fonction de a les distances ΩaSa et Ω2Ωa. Pour calculer ΩaSa, on peut se placer dans le rep` ere Ra. Pour calculer Ω2Ωa, on peut se placer dans le rep` ere R. 0,25 +0,25 =0,5 pt b) En appliquant le th´ eor` eme de pythagore au triangle Ω2ΩaSa, calculer Ω2Sa ; 0,5 pt c) En d´ eduire que les sommets de Ca sont sur un cercle de centre Ω2 dont on pr´ ecisera le rayon. 0,5 pt Partie C: (2,5 pts) Dans cette partie, a est un ´ el´ ement de l’intervalle ]0, 1[. Soit u0 un ´ el´ ement de [0; 1] et (un) la suite d´ efinie par son premier terme u0 et par la relation de r´ ecurrence : un+1 = fa(un). 1. a) uploads/Ingenierie_Lourd/ bacs1.pdf

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