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ANNALES DE L’I. H. P. P.P. EWALD Optique cristalline (lumière et rayons X) Inte

ANNALES DE L’I. H. P. P.P. EWALD Optique cristalline (lumière et rayons X) Interaction des atomes par rayonnement Annales de l’I. H. P., tome 8, no 2 (1938), p. 79-110 <http://www.numdam.org/item?id=AIHP_1938__8_2_79_0> © Gauthier-Villars, 1938, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Annales de l’I. H. P. » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce ﬁchier doit conte- nir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Optique cristalline (lumière et rayons X) Interaction des atomes par rayonnement par P. P. EWALD. 1. . Introduction. - On appelle théorie de la dispersion l’ensemble des calculs d’optique théorique qui servent à expliquer le passage de la lumière à travers la matière. La lumière étant retardée ou accélérée dans ce passage, on parlera de théorie de l’indice de réfraction ou plus sim- plement de théorie de la réfraction. L’absorption est un phénomène étroitement lié à la réfraction et sa théorie peut être reliée sans difficulté à celle de la réfraction; nous ne chercherons cependant pas à l’analyser ici. La diffusion de la lumière par les irrégularités des corps, est, au contraire, un phénomène très différent de la réfraction et qui disparaît même lorsqu’on a affaire à un corps parfaitement régulier; c’est ce modèle que nous allons prendre comme base de discussion. La réfraction, au sens strict, de même que la réflexion, ne se produit guère qu’à la surface d’un corps. Nous ne nous occuperons pas ici de la réfraction superficielle et des autres phénomènes de transition à la sur- face, dont la théorie serait nécessaire pour rattacher le champ optique à l’intérieur du corps au champ extérieur. Qu’il suffise de remarquer que ces questions de surface se laissent facilement étudier lorsqu’on a résolu les problèmes de propagation à l’intérieur et qu’ils conduisent aux rela- tions de Fresnel entre les amplitudes des ondes incidente, réfractée et réfléchie. Pour définir exactement la théorie de la dispersion ou delà réfraction, qui formera l’objet de cette étude, nous nous proposons d’étudier la propagation d’un système d’ondes planes dans un cristal idéalisé, Une onde plane ne saurait exister en toute rigueur à l’intérieur d’un 80 corps, dont les charges atomiques déforment tout champ électrique d’une façon très compliquée. Nous devons donc définir le champ optique comrne consistant, à un certain degré d’approximation, en une seule onde plane (lumière visible) ou en un nombre fini d’ondes planes (rayons X). L’idéalisation du cristal consiste à réduire celui-ci au modèle le plus simple doué des deux propriétés caractéristiques de la matière cristal- lisée, à savoir la périodicité et l’anisotropie : nous considérons donc un réseau simple (réseau de Bravais) constitué de dipôles d’une certaine fréquence propre donnée. Le remplacement des atomes du cristal réel par des dipôles appelle certaines remarques. Bien que l’interaction entre le champ optique et l’atome soit un problème de dynamique atomique, donc de mécanique ondulatoire, nous y substituerons le modèle classique correspondant à l’époque des premières études de H. A. Lorentz. La théorie atomique est aussi appelée théorie de la dispersion par certains théoriciens; pour nous, elle est plutôt une théorie de la polarisabilité; elle conduit au résultat suivant : l’interaction se laisse décrire au moyen de la théorie classique et l’atome ondulatoire équivaut à un dipôle, dont le moment ~ se laisse calculer pour chaque fréquence. L’onde émise par l’atome plongé dans le champ optique ne diffère pas de l’onde sphérique d’un’ dipôle convenable tant que la longueur d’onde reste grande par rapport aux dimensions de l’atome; et si cette condition n’est plus valable dans le cas des rayons X, la réaction de l’atome est très proche de celle d’un système de dipôles répartis dans le domaine atomique. Ainsi, nous pou- vons nous horner au modèle dipolaire de l’atome pour l’étude que nous nous proposons d’entreprendre ici et qui peut être caractérisée comme l’étude de l’interaction mutuelle des atomes par le moyen de leurs radiations induites. Ce même problème peut être énoncé sous d’autres formes équivalentes ; en voici deux : a. Considérons la réaction d’un atome isolé sur une onde lumineuse, réaction déterminée par la fréquence propre du dipôle équivalent. Intro- du-isons ensuite l’atome à l’intérieur du réseau cristallin ; outre le champ optique provenant des atomes lointains du même corps, l’atome sera influencé par les champs émanant de ses voisins, lesquels, partageant le même sort, auront acquis un moment dipolaire. Cette influence mutuelle 8I a pour résultat, comme l’a d’abord montré W.-L. Bragg (’ ), d’augmenten la polarisabilité de l’atome entouré d’autres atomes. Ceci peut être énoncé sous la forme d’un changement apparent de fréquence propre du dipôle équivalent à l’atome, par suite de l’interaction des atomes du réseau. Ce changement dépend de l’orientation du moment électrique des atomes par rapport aux axes de translation du cristal, et cette influence, qui change avec la direction des dipôles, donne lieu à la double réfrac- tion et aux autres phénomènes d’optique cristalline. Le calcul de la double réfraction dépend donc essentiellement ( quoique pas uniquement, comme nous le remarquerons au dernier paragraphe) de l’interaction des dipôles formés par le passage du champ optique. b. Prenons le cas des rayons X. Une seule onde de longueur d’onde et de direction fixées ne pourra pas, dans les cas les plus intéressants, se propager sans être accompagnée par d’autres ondes planes de même fréquence, ayant cependant d’autres directions et éventuellement d’autres longueurs d’onde. Ce seront les ondes diffractées de la première onde par réflexion interne sur les plans réticulaires, suivant la loi de Bragg. L’onde que nous venons de désigner comme la première ne se distingue en rien des autres; le système des plans réticulaires permet de passer par réflexion d’une onde quelconque à une autre. C’est l’ensemble de ces ondes, qui forme une unité inséparable, que nous devons appeler, dans le cas des rayons X, champ optique et dont nous devons étudier la propagation dans le cristal. Dans ce cas, il semble préférable de parler de l’interaction des ondes du champ optique plutôt que de celle des atomes. Car supposons qu’une seule de ces ondes soit trop forte par rapport aux autres; elle perdra de l’intensité par réflexion et la transmettra aux autres ondes qui en gagne- ront jusqu’à ce qu’un régime d’équilibre s’établisse. La propagation permanente demande un équilibre d’interaction des ondes consti- tuantes. Cependant, puisque ces ondes proviennent des dipôles et constituent en même temps leurs moyens d’interaction, on peut aussi envisager cet équilibre comme exprimant l’interaction des atomes, comme dans le cas des ondes visibles. ( 1 ) W.-L. BRAGG, Proc. Roy. Soc. London A, 105, I924, p. 370 ; cf. aussi P. P. EWALD, Disse,rtation. ou Annalen der Physik., 49, I9I6, p. r, fig. I. 82 C’est donc en tout cas le détail de cette interaction entre atomes au moyen du rayonnement émis qui nous intéresse ’ici. Et pour ne pas dépasser les limites de ce sujet nous laisserons de côté toutes les complications qui apparaissent lorsqu’on veut comparer les résultats des calculs aux propriétés optiques des cristaux réels. 2. Notions géométriques; réseau du cristal et de Fourier. - Nous supposons le cristal illimité et ses dipôles arrangés selon un réseau de translations a,, &2’ a3. La cellule élémentaire a le volume va. L’indice l - représentant un triplet de nombres entiers, 11, l2, l3 - désigne le dipôle au point (2.’i) xl = l1a1 + l2a2 + l3a3. Parallèlement au réseau du cristal nous considérons le réseau de Fourier déduit du premier par une tranformation de Fourier. ( Ce réseau est aussi connu sous le nom de réseau réciproque. Mais puisque la réci- procité est une qualité relative à deux choses, nous préférons donner un nouveau nom au complément du réseau cristallin. L’étude d’un cristal à base étendue- atome de grandeur finie ou plusieurs sortes d’atomes - montre qu’on passe du réseau cristallin à J’autre par une transformation de Fourier. ) Le réseau de Fourier est, dans le cas d’un réseau simple, un autre ~ réseau simple formé avec les vecteurs (b ) réciproques des translations (a) (2.2) (aibk) = 03B4ik= {I O, b1 = [a2a3] va, a1 = [b2b3] vb (vavb=I). Avec les nombres entiers hi un point de ce réseau sera donné par le vecteur , (~.3) bh = hi bi + h2b2+ h3 b3. Chaque fonction qui est périodique dans le réseau du cristal, donc = f (g), sera représentée dans le réseau de Fourier par une somme d’ondes planes, dont les vecteurs d’onde parcourent tous les points nodaux du réseau : 83 Cette forme pour la série de Fourier se déduit de l’observation que le produit (bit Xl) = nombre entier garantit la périodicité suivant la maille du cristal. Les coefficients de Fourier s’obtiennent par intégration de la fonction donnée dans la maille va. En attribuant comme poids à chaque point bh du réseau de Fourier le coefficient A/o ce réseau chargé de poids devient la trans- formée uploads/Ingenierie_Lourd/ aihp-1938-8-2-79-0.pdf