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Deux améliorations concurrentes des PID Two competing improvements of PID contr

Deux améliorations concurrentes des PID Two competing improvements of PID controllers: A comparison Michel Fliess1,3 et Cédric Join2,3,4 1LIX (CNRS, UMR 7161), École polytechnique, 91128 Palaiseau, France, Michel.Fliess@polytechnique.edu 2CRAN (CNRS, UMR 7039), Université de Lorraine, BP 239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy, France, Cedric.Join@univ-lorraine.fr 3AL.I.E.N. (ALgèbre pour Identiﬁcation & Estimation Numériques), 7 rue Maurice Barrès, 54330 Vézelise, France, {michel.ﬂiess, cedric.join}@alien-sas.com 4Projet Non-A, INRIA Lille – Nord-Europe, France RÉSUMÉ. Aujourd’hui, « commande sans modèle », ou « MFC », et « commande par rejet actif de perturbations », ou « ADRC », sont les approches les plus en vue pour préserver les avantages des PID, si populaires dans l’industrie, tout en atténuant leurs carences. Après un bref rappel sur MFC et ADRC, plusieurs exemples démontrent la supériorité du sans-modèle car permettant d’embrasser une classe beaucoup plus vaste de systèmes. ABSTRACT. In today’s literature Model-Free Control, or MFC, and Active Disturbance Rejection Control, or ADRC, are the most prominent approaches in order to keep the beneﬁts of PID controllers, that are so popular in the industrial world, and in the same time for attenuating their severe shortcomings. After a brief review of MFC and ADRC, several examples show the superiority of MFC, which permits to tackle most easily a much wider class of systems. MOTS-CLÉS. PID, commande sans modèle, commande par rejet actif des perturbations, commande par platitude. KEYWORDS. PID, model-free control, MFC, active disturbance rejection control, ADRC, ﬂatness-based control. Ce que l’esprit voit le cœur le ressent. Malraux (La Condition humaine, Paris : Gallimard, 1933) 1. Introduction On connaît la domination, écrasante dans l’industrie, des correcteurs de type « proportionnel-intégral- dérivé », ou « PID » (voir, par exemple, [Åström & Hägglund (2006)], [Åström & Murray (2008)], [O’Dwyer (2009)]). À côté d’avantages aussi considérables que reconnus, singulièrement la simplicité conceptuelle et l’inutilité d’une modélisation mathématique, des manques ﬂagrants conduisant trop sou- vent à une mise en œuvre pénible et à des performances médiocres. La recherche universitaire, si active en automatique, dite parfois « moderne » depuis plus de cinquante ans, y trouve en bonne part sa motivation. Elle suppose fréquemment une description par équations différentielles ou aux différences. Ses contribu- tions, théoriques et pratiques, sont incontestables (voir, par exemple, [Åström & Murray (2008)], [Åström & Kumar (2014)]). Aﬁn de ne pas trop alourdir cette publication, contentons-nous, ici, de ci- ter deux apports, aux applications aussi nombreuses que diverses : le ﬁltre de Kalman [Kalman (1960), Kalman & Bucy (1961)] et la platitude [Fliess et coll. (1995), Fliess et coll. (1999)]. Durant toutes ces années, on a tenté à maintes reprises, avec, semble-t-il, un succès mitigé jusqu’à récemment, de garder les avantages des PID tout en gommant leurs défauts. Deux voies, plutôt nouvelles, prévalent à l’heure actuelle : 1. la « commande sans modèle » [Fliess & Join (2013)], ou model-free control, désignée ici par MFC, son acronyme anglais ; 2. la « comande par rejet actif de perturbations », ou active disturbance rejection control, désignée c ⃝2018 ISTE OpenScience – Published by ISTE Ltd. London, UK – openscience.fr Page | 1 aussi par son acronyme anglais, ADRC. Cette méthode, issue avant tout des travaux de [Han (2009)] en Chine, a été développée par divers auteurs. Voir, par exemple, — les articles signés par [Aguilar-Iba˜ nez et coll. (2017)], [Feng & Guo (2017)], [Gao (2014)] 1, [Guo & Zhou (2015)], [Huang & Xue (2014)], [Inoue & Ishida (2016)], [Qi et coll. (2017)], [Mado´ nski & Herman (2015)], [Polóni et coll. (2018)], [Tavasoli & Enjilela (2017)], [Vincent et coll. (2011)], [Wu & coll. (2015)], [Yao & Deng (2017)], [Zhang et coll. (2014)], [Zheng & Gao (2016)]) ; — les livres de [Guo & Zhao (2016)] et [Sira-Ramírez et coll. (2017)]. MFC et ADRC ont permis bien des applications, parfois spectaculaires. Les bibliographies des références plus haut sur l’ADRC en fournissent une liste assez complète. Pour le MFC, renvoyons à la bibliographie de [Fliess & Join (2013)], à [Abouaïssa et coll. (2017a), Abouaïssa et coll. (2017b)] et à leurs références. Des adeptes de l’ADRC ont publié des critiques, aussi vives qu’infondées, contre le MFC (voir, par exemple, [Mado´ nski & Herman (2012)]). L’ignorance totale chez d’autres, comme [Guo & Zhao (2016)], des techniques du MFC aboutit à un exposé partial. Certains, comme [Cortés-Romero et coll. (2017)], effacent l’écart béant les séparant. Cet article use d’un droit de réponse légitime. Il vise à rétablir les faits, en exploitant, après avoir résumé les deux approches, plusieurs exemples académiques 2. Puisse une discussion ouverte et fructueuse s’ensuivre 3. Le paragraphe 2 résume MFC et ADRC. On s’y inspire pour l’ADRC du nouveau livre [Sira-Ramírez et coll. (2017)], plus clair. Le suivant exhibe des simulations numériques, qui vont du linéaire au non-linéaire en terminant par une équation aux dérivées partielles. Ils tendent à prouver la supériorité du sans-modèle. La conclusion évoque aussi : 1. l’inﬂuence sur la compréhension de questions naturelles ; 2. les retards ; 3. les équations aux dérivées partielles. 2. Les deux approches 2.1. MFC Emploi d’un théorème d’approximation On se restreint, aﬁn de simpliﬁer l’écriture, à un système SISO 4, c’est-à-dire avec une seule commande u et une seule sortie y. On suppose la « fonctionnelle » correspondant à y, c’est-à-dire la fonction de la 1. Certains auteurs, comme [Gao (2014)], ont voulu faire remonter quelques-uns des principes de l’ADRC plus haut dans le temps, à [Poncelet (1870)] en particulier. 2. Aux lecteurs de comparer les applications concrètes grâce aux références bibliographiques. Une telle évaluation est, dans le cadre de cet article, impossible. 3. L’importance pour l’ADRC de la contribution chinoise est décisive. On doit souligner d’autant plus la grande qualité de maints travaux en Chine sur le MFC (voir, par exemple, [Ticherfatine & Quidam (2017), Wang et coll. (2017), Wang et coll. (2016), Zhang et coll. (2018)]). 4. Acronyme de Single-Input Single-Output. c ⃝2018 ISTE OpenScience – Published by ISTE Ltd. London, UK – openscience.fr Page | 2 fonction u, causale, ou non-anticipative : ∀t > 0, y(t) = F (u(τ) | 0 ⩽τ ⩽t) (1) F dépend — du présent et du passé, mais pas du futur ; — de perturbations variées ; — de conditions initiales en t = 0. Exemple. Populaires en automatique (voir, par exemple, [Lamnabhi-Lagarrigue (1994), Rugh (1981)]) et dans divers domaines des sciences appliquées, les « séries de Volterra » sont des fonctionnelles du type y(t) =h0(t) + t Z 0 h1(t, τ)u(τ)dτ+ t Z 0 t Z 0 h2(t, τ2, τ1)u(τ2)u(τ1)dτ2dτ1 + . . . t Z 0 . . . t Z 0 hν(t, τν, . . . , τ1)u(τν) . . . u(τ1)dτν . . . dτ1 + . . . Elles apparaissent, notamment, comme solutions d’équations différentielles ordinaires assez générales (voir, par exemple, [Lamnabhi-Lagarrigue (1994)], [Rugh (1981)] et [Fliess et coll. (1983)]). On introduit — un compact I ⊂[0, +∞[ ; — un compact C ⊂C0(I), où C0(I) est l’ensemble des fonctions continues I →R, muni de la topologie de la convergence uniforme. Soit S la R-algèbre de Banach des fonctionnelles (1), causales et continues, I × C →R. D’après le théorème de Stone-Weierstraß (voir, par exemple, [Choquet (2000), Rudin (1967)]), toute sous-algèbre, contenant une constante non nulle et séparant les éléments de I × C, est dense dans S. Soit A ⊂S l’ensemble des fonctionnelles satisfaisant des équations différentielles algébriques du type E(y, ˙ y, . . . , y(a), u, ˙ u, . . . , u(b)) = 0 (2) où E est un polynôme à coefﬁcients réels. Selon [Fliess & Join (2013)], A est dense dans S. Il est ainsi loisible de supposer que le système considéré est « bien » approché par un système (2). Soit un entier ν, 1 ⩽ν ⩽a, tel que ∂E ∂y(ν) ̸≡0 D’où, localement, d’après le théorème des fonctions implicites, y(ν) = E(y, ˙ y, . . . , y(ν−1), y(ν+1), . . . , y(a), u, ˙ u, . . . , u(b)) Il en découle le système « ulta-local » y(ν) = F + αu (3) Souvent, en pratique, on sélectionne ν = 1. Voir [Fliess & Join (2013)] pour une explication. On ren- contre parfois ν = 2. Jamais plus. Le praticien choisit α ∈R tel que les trois termes de (3) aient le même ordre de grandeur. Il en découle qu’une identiﬁcation précise du paramètre α est sans objet. c ⃝2018 ISTE OpenScience – Published by ISTE Ltd. London, UK – openscience.fr Page | 3 PID intelligents Reprenons (3) avec ν = 2. Un « PID intelligent », ou « iPID », est déﬁni par u = −Fest −¨ y∗−KPe −KI R e −KD ˙ e α (4) où — y∗est la trajectoire de référence ; — e = y −y∗est l’erreur de poursuite ; — KP, KI, KD ∈R sont les gains ; — Fest est une estimée de F. Il vient ¨ e = KPe + KI Z e + KD ˙ e + F −Fest (5) Si l’estimée Fest est « bonne », c’est-à-dire F −Fest ⋍0, déterminer les gains uploads/Industriel/2-ameliorations-concurrentes-des-pid-pdf.pdf