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Université Moulay Ismail Faculté des Sciences de Meknès Filère: SMP Module: ANA

Université Moulay Ismail Faculté des Sciences de Meknès Filère: SMP Module: ANALYSE III Semestre: III Année Universitaire : 2O20l20Zl Série 1 Exercice 1 On considère les séries entières ÿ I -// et \- | -,, fitt{tt. ti- -' frn t- 1. chercher 1es rayons de convergence des deux séries entières. 2. Chercher leurs sommes dans leurs clisques de convergences. 3. Déduire la somme de la série ÿ 2' + n3" îtfu - l)n5'' Exercice 2 calculer les rayons de convergences des séries entières suivantes : l. r '!-" *: ,,. L; t /:. tù0Jfr.+Vl) , l .tt 2.ÿ I ' ..dr)". *t'nJo l- t r,'r"'- 3' Lb"'", be c" n:0 4.\o,,2.' tellequecettesérieentièredivergepourz: 1+2ietconvergesi ;:y$r. ni,.0 Exercice 3 -lt soient I fr tt Er^;-,deux séries entières de rayons «]e convergences R er R,respecrivemenr. 1. Calculer le produit de Cauchy des deux séries entières. 2' Que peut on dire pour le rayon de convergence de ce produit de cauchy. 3' on pose z: -1, montrer alors que le produit de cauchy donne une séne divergente. Exercice 4 Soit z e c' Déterminer le développement en séries entières au voisinage de l'origine des fonctions suivantes : 1 -. I t''r-) 1-z? ) 1- :*- t .l J. z--r _j, _, ,.(Facultatill. <, -.r.- -1- I Exercice 5 En se basant sur la formult " : I { aonr.. le développement en séries entières des fonctions suivantes ; ,7sn! 1. z *--+ cos(z). 2. z,__+sin(z). En déduire le développement en séries entières des fonctions 1. zr--+ ch(z). z. z,--+ sh(z). Lx *.e-rs { (_ 1) rr) ?-, r(vr* a) J ()* 1ûte-r1i] =t" * Pu,*o to *â ie **-**-*e> { Y\-i + r* rf * ,"1 &§rî!îe-.?\ C& 1 ):*"_ 1"\> {, dg.tc : ÔL T Ln) 2" /Tt*L I â"tr 1 lî^ i rr (n*â) I n- r =. I .r', fl Cr"n â : R.r = l.. 4 -a 4 ,n(n*..rJ ) \ i)t' iÿur-r -)c< "âetiC )*- rx) âr 1ô1 a I il- t* ! I 1"*r. âY1 Yr * ,l* { rv,*t \ , l;_i*-- > L =à liE :' * n .^.,> + ,â ----**--* J --I (-! + r,t-,+y,_. \_L :_ 11) L ,N {n.-l ) t\l ,.r*! ,1 --- }1* j* r Y\ \ ,1> ?, ç ..t \J E ta1 :_ Btà) -- :* At+\ - î]/^\ ',.*./ \5(*J + a,xtr., p...itL , Q-1r \ - r ,{ .r) rJ r e I * ,, * .G*-,U ^) t, Ù1*iL \* -. n-l --z ) Z. *,2<_ # ln> g- n* -{- -zl ,)ÉJ- -+* n> â* rn I Jà* ( 1-A\ a- tç/tç (4 'r cr'I1u-L f*"LrL ELr:,r) &,râ, 4- \,* ,NJ ÂA i Y'l -t- u ù1 Bta)= t I* rn> .L B lt; : e (.- -\l,, In - *)) 'Fi,. jL"r.eur b hte )= e. L* {'' ta*a)) + &" ( t'-'z-) + e §r,".. {r* f,'* ô* )LArYv\ â,\ d\ltrli^ t* . rrl -t- i,lfl 4 â- $n* r f ,h L^- ^),nn ). {." u*;uo T - ^> 7_ , ( ^ rfln -\ I dL\ \ ::- i -J' rttcn-t) \ ê J 1 . &'\ e-l J *fl 5 q d ,v'f LYt - n) *( r*'l) y\ *L ,,)trnt (Ëttÿ€.* 1O* fer J l, \)€rnc ) _ ")ë n(n*l) Ce.n'Iâ Aer"t\e . 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