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D. BERNARD, Y. LASZLO et D. RENARD ELÉMENTS DE THÉORIE DES GROUPES ET SYMÉTRIES

D. BERNARD, Y. LASZLO et D. RENARD ELÉMENTS DE THÉORIE DES GROUPES ET SYMÉTRIES QUANTIQUES D. BERNARD, Y. LASZLO et D. RENARD 10 septembre 2012 ELÉMENTS DE THÉORIE DES GROUPES ET SYMÉTRIES QUANTIQUES D. BERNARD, Y. LASZLO et D. RENARD TABLE DES MATIÈRES Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Auteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I. Groupes, actions de groupes et représentations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.1. Un exemple fondamental et quelques déﬁnitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.2. Exemples de groupes et d’actions de groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.3. Le groupe symétrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.4. Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 I.5. Représentations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I.6. Opérations sur les représentations : sommes directes et produits, produits tensoriels, représentation contragrédiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 I.7. Décomposition canonique et règles de sélection.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 I.8. Représentations des groupes topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 I.9. Mesure de Haar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 II. Groupes linéaires et leurs algèbres de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 II.1. Le groupe GL(n, K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 II.2. L’application exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 II.3. Groupes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 II.4. Sous-groupes de Lie. Connexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 II.5. Homomorphismes de groupes linéaires. Revêtements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 II.6. Représentations de dimension ﬁnie des groupes linéaires connexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 II.7. Représentation adjointe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 II.8. Représentations projectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 III. Représentations de sl(2, C), SU(2), et SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 III.1. Le revêtement SU(2) →SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ii TABLE DES MATIÈRES III.2. Représentations de sl(2, C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 III.3. Les harmoniques sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Industriel/ pol-yeap-hy-2012.pdf