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Mémoire de Master de Mathématiques, option Probabilités et Modèles Aléatoires P

Mémoire de Master de Mathématiques, option Probabilités et Modèles Aléatoires Pierre-Alain SALLARD 14 avril 2011 Remerciements Je remercie M. le Professeur Lorenzo ZAMBOTTI d'avoir accepté d'encadrer ce travail et de m'avoir incité à explorer les applications en nance de la Théorie des Grandes Déviations. Résumé Dans le présent mémoire, quelques applications à la nance de la théorie des probabilités sont explorées. La première partie est basée sur l'ouvrage Financial Modelling with Jump Processes de R.Cont et P.Tankov ([CT04]). Je me concentre ici sur la question du pricing de produits dérivés quand l'actif sous-jacent est modélisé à partir d'un processus de Lévy, et plus spéci quement sur la caractérisation de la mesure risque-neutre d'entropie minimale (si elle existe). La seconde partie est basée sur l'article Some applications and methods of large deviations in nance and insurance de H. Pham ([Pha07]). Des nombreux exemples étudiés dans l'article, je n'en présente ici qu'un seul, où les méthodes de la théorie des grandes déviations permettent d'améliorer le calcul du prix d'une option barrière par simulation de Monte-Carlo. Table des matières I Détermination du prix d'une option quand l'actif sous-jacent est modélisé par un processus de Lévy 2 1 Introduction 3 1.1 Les actifs nanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Portefeuille et stratégies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Produits dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Absence d'opportunité d'arbitrage et mesure risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Pricing d'un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 Couverture des produits dérivés et marché complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Les processus de Lévy : dé nitions et résultats généraux 6 2.1 Dé nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Décomposition de Lévy-Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Formule de Lévy-Khintchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Conditions d'intégrabilité et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5 Processus de Lévy et martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.6 Exponentielle d'un processus de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.7 Exemples de processus de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Changements de mesures pour les processus de Lévy 12 3.1 L'espace canonique et les changements de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Opportunités d'arbitrage et complétude du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2.1 Cas d'un processus de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2.2 Cas d'un processus de Lévy-exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 L'ensemble des prix admissibles d'une option 17 5 Processus de Lévy et mesure martingale d'entropie minimale 19 5.1 La MMEM d'un processus de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2 La MMEM d'un processus de Lévy-exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.4 Le prix d'une option européenne sous la MMEM dans un modèle de Lévy-exponentiel 23 5.5 Pourquoi le choix de la mesure martingale d'entropie relative minimale ? . . . . . . . . 23 II Une application en nance de la théorie des grandes déviations 25 6 Présentation d'une méthode de Monte-Carlo corrigée pour le calcul d'options bar- rières 26 6.1 Description du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2 Amélioration de la simulation de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.3 Application numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7 Développement asymptotique de la probabilité de sortie du pont brownien 30 1 Première partie Détermination du prix d'une option quand l'actif sous-jacent est modélisé par un processus de Lévy 2 Chapitre 1 Le formalisme des modèles de marchés nanciers Ce chapitre ne fait que rappeler le formalisme des modèles de marchés nanciers et quelques dé - nitions classiques, d'après les chapitres 2, 8 (section 8.1) et 9 (section 9.1) de [CT04]. 1.1 Les actifs nanciers Un modèle de marché nancier est dé ni à partir d'un espace de probabilité (Ω, F, P) muni d'une ltration (Ft)t∈[0,T] (où T est un horizon de temps ni) satisfaisant les conditions habituelles de continuité à droite et de complétude. On suppose qu'il y a sur le marché d + 1 actifs nanciers dont l'évolution des prix est donnée par un processus stochastique (St)t∈[0,T] = (S0 t , S1 t , . . . , Sd t )t∈[0,T] à valeurs dans Rd+1 : cela signi e dont que Si t(ω) représente la valeur de l'actif i au temps t dans le scénario de marché ω. L'actif numéroté 0 représente un placement sans risque (donc non aléatoire). Le cas classique est celui d'une obligation zéro-coupon délivrant un taux d'intérêt instantané r : S0 t = exp(r t). Cet actif sans risque permet notamment d'actualiser les prix des actifs (changement de numéraire) : le prix actualisé du i-ème actif est par dé nition : ˆ Si t ≜Si t S0 t Par la suite, on prendra souvent r = 0, de sorte que le processus stochastique d-dimensionnel S = (S1, . . . , Sd) représente les prix actualisés des d actifs nanciers que l'on veut modéliser. 1.2 Portefeuille et stratégies On considère donc un marché avec d actifs dont les prix (actualisés) sont modélisés par le processus stochastique S = (S1, . . . , Sd). Un portefeuille φt désigne les quantités φ1 t , . . . , φd t que l'on détient de chacun des actifs au temps t. Une stratégie de gestion est dé nie comme le processus (stochastique) φ = (φt)t∈[0,T] qui décrit l'évolution du portefeuille (les variations de φ correspondent aux achats et aux ventes des actifs). On impose (cf. [CT04] uploads/Industriel/ memoire-master-sallard-2011.pdf