Réalisé par : Badr Ouled jamaa martingale Chapitre 3 martingale : Définition : L

Réalisé par : Badr Ouled jamaa martingale Chapitre 3 martingale : Définition : Le terme de martingale est issu de la théorie des jeux, où il désigne une statégie permettant de gagner à coup sûr dans un jeu équitable (comme le pile ou face). Prenons un exemple dû à D’Alembert : on parie x euros sur pile. Si la pièce tombe sur pile, on ramasse 2x euros (soit un gain de x euros), et si elle tombe sur face, on perd tout. A chaque coup, on est libre de se retirer ou de continuer à jouer. Une stratégie gagnante à coup sûr est la suivante : au 1er coup, on mise 1 euro : si on gagne, on se retire (et on empoche 1 euro) ; sinon, on continue (et on a perdu 1 euro). au 2ème coup, on double la mise, 2 euros : si on gagne, on se retire, et on a gagné 2-1=1 euro. Sinon on continue, on a perdu 2+1=3 euros. au 3ème coup, on double encore la mise, en jouant 4 euros. Si on gagne, on se retire, avec en poche un gain de 4-3=1 euro. Sinon, on continue la partie, et on double au coup suivant la mise, etc... Comme pile va bien finir par tomber, on est sûr de finir par gagner 1 euro, à condition d’avoir une fortune infinie ! Cela dit, si pile ne sort qu’au 8è tirage, alors on aura déjà misé 1+2+4+8+16+32+64+128=255 euros. Et tout cela pour gagner 1 euro ! La théorie des martingales modélise en théorie des probabilités le concept de jeu équitable : si à un instant t, on a gagné ou perdu une somme S, on n’a pas plus de chance dans le futur d’augmenter ou de diminuer le gain. Un théorème, dit de la ruine du joueur, affirme que si un joueur a une fortune initiale finie, il n’existe pas de stratégie pour gagner à coup sûr. C’est la ruine du joueur, mais la fortune des casinos ! La martingale mathématique : Définition : Soit un processus adapté (Xn,Fn) tel que Xn est intégrable pour tout entier n. On dit que le processus est : une martingale si ∀0 ≤m ≤n,E (Xn | Fm) = Xm (presque sûrement). une sur-martingale si ∀0 ≤m ≤n,E (Xn | Fm) ≤Xm (presque sûrement). une sous-martingale si ∀0 ≤m ≤n,E (Xn | Fm) ≥Xm (presque sûrement). Si Xn représente la fortune du joueur à l’instant n, dire que la suite (Xn) est une martingale signifie que la connaissance des parties passées (c’est-à-dire la connaissance des événements de Fm ) ne donne pas d’avantages pour les parties à venir. Exemple : Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes sur (Ω,A,P), intégrables, et de même moyenne m. On note Fn la tribu engendrée par X1,...,Xn et Sn = X1 + ··· + Xn. Alors : - (Sn,Fn) est une martingale si m = 0 ; - (Sn,Fn) est une sur-martingale si m ≤0 ; - (Sn,Fn) est une sous-martingale si m ≥0. Martingale dans N : Soit (Fn)n≥0 une filtration. Soit (Mn)n≥0 une suite de variables aléatoires. On dit que (Mn)n≥0 est une martingale par rapport à (Fn)n≥0 si : 1. (Mn)n≥0 est adaptée à la filtration (Fn)n≥0. 2. Mn est intégrable pour tout entier n. 3. E (Mn+1 | Fn) = Mn. Si (Mn)n≥0 respecte les deux premières conditions, et E (Mn+1 | Fn) ≥Mn∀n alors on l’appelle Page 1 Réalisé par : Badr Ouled jamaa martingale Chapitre 3 sous-martingale, et si E (Mn+1 | Fn) ≤Mn∀n, alors on l’appelle sur-martingale. On dit que (Mn)n≥0 est une Fn-martingale. Processus prévisible : Soit (Fn)n≥0 une filtration. Soit (Yn)n≥0 une suite de variables aléatoires. On dit que (Yn)n≥0 est processus prévisible si Y0 est F0-mesurable et Yn+1 est Fn-mesurable pour tout entier n. Exemples de martingales : - Soit X une variable aléatoire intégrable et Xn := E (X | Fn). Alors (Xn)n est une Fn-martingale. - Soit (Xk)k une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées. La suite (Sn)n définie par Sn := Pn k=1 Xk est une Fn-martingale avec Fn = σ(X0,...,Xn)6. - Soit (Xn)n une Fn-martingale, soit (Yn)n un processus borné prévisible par rapport à (Fn)n. Alors (Zn)n définie par Zn := Y0X0 + Pn k=1 Yk (Xk −Xk−1) est une Fn-martingale. - Martingale de Doob On étudie l’espérance conditionnelle d’une variable aléatoire X selon une suite de variables aléatoires (Yn)n∈N définies sur le même espace probabilisé et on pose : Xn = E[X | Y0,...,Yn] La suite des (Xn)n∈N est appelée martingale de Doob. - Martingale de Wald On définit la suite des (Xn)n∈N selon la fonction génératrice d’une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées (Yn)n∈N Xn = etPn i=1 YiE h etY i−n La suite des (Xn)n∈N est appelée martingale de Wald. - Exemple de martingale à temps continu : On peut par exemple définir des martingales avec des mouvements browniens. Ceci a de nombreux liens avec l’intégration stochastique. On commence par définir la filtration comme étant la filtration naturelle d’un mouvement brownien standard (Bt)t. Alors le processus stochastique  Mt = B2 t −t  t est une martingale. Ceci donne par ailleurs la décomposition de Doob de la sous-martingale  B2 t  t Martingales et temps d’arrêts : Théorème : Soit (Mn)n une Fn martingale et T un temps d’arrêt. Alors (Mn∧T)n est une martingale (appelée "martingale arrêtée"). Page 2 Réalisé par : Badr Ouled jamaa martingale Chapitre 3 Démonstration : - Mn∧T = Pn−1 j=1 Mj ∗1(T=j) + Mn ∗1(T≥n) ∀k < nMk et 1(T=j) sont Fn-mesurable. (T ≥n) = (T < n)c =   n−1 [ k=0 (T = k)   c ∈Fn Donc Mn∧T est Fn-mesurable - |Mn∧T| ≤|Mn| + Pn−1 j=1 Mj d’où Mn∧T est intégrable. - E (Mn+1∧T | Fn) = E Pn−1+1 j=1 Mj ∗1(T=j) | Fn  + E  Mn+1 ∗1(T≥n+1) | Fn  . Or Mj et 1(T=j) sont Fn-mesurable ∀j ≤n, de même pour 1(T≥n+1). E (Mn+1∧T | Fn) = n X j=1 Mj∗1(T=j)+1(T≥n+1)∗E (Mn+1 | Fn) = n X j=1 Mj∗1(T=j)+1(T≥n+1)∗Mn = Mn∧T Corollaire E (M0) = E (Mn∧T) Page 3 uploads/Industriel/ martingale-ch-3.pdf

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Industrielmartingale suite alors processus variables
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