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Université des Frères Mentouri Constantine 1 Faculté des sciences et de la tech

Université des Frères Mentouri Constantine 1 Faculté des sciences et de la technologie Département de l’électrotechnique Master 1 Électrotechnique industriel TP Asservissements échantillonnés et régulation numérique 24/04/2021 TP 1+2 Échantillonnage et reconstruction des signaux, analyse temporelle & fréquentielle Document de réponse On considère un signal échantillonné y(k) qui représente la réponse impulsionnelle d’un système du premier ordre continu dont la fonction de transfert est donnée par : G (s )=Y (s) δ (s) =Y (s)= 1 τs+1 Avec : τ=0.1seconde et s= jω la variable de Laplace. Question1 1) Donner l’expression de δ(S) et δ(t). δ(t) : impulsion de dirac : δ(t) ¿{ 0,si∧t ˃0 ∞,∧t=0 δ(S) :la transformées de laplace de δ(t) : δ(S)= ∫ 0 ∞ δ(t)e −st dt =1 (si t˃0) 2) Tracer le spectre (module) de G(S) pour une période d’échantillonnage T=τ/20 et T=τ/100, avec : w=-10*pi/T:0.1:10*pi/T % la pulsation w 1 Nom & Prénom : - BOULABIZA Mohammed. - BOURTAL Youcef. Groupe : Master1 ELT industrielle. Université des Frères Mentouri Constantine 1 Faculté des sciences et de la technologie Département de l’électrotechnique Master 1 Électrotechnique industriel TP Asservissements échantillonnés et régulation numérique 24/04/2021 T = τ/20 T = τ/100 Figure 1 : le spectre (module) de G(S) pour une période d’échantillonnage T=τ/20 et T=τ/100 3) Donner l’expression temporelle de la réponse impulsionnelle y(t) et tracer son allure à l’aide du programme Matlab Question N°1 pour une période d’échantillonnage : T=τ/10 et T=τ/100. Y(s)= 1 τs+1 Y(t)=1 τ e −t/τ T = τ/20 T = τ/100 Figure 2. la réponse temporelle y(t) 1 pour une période d’échantillonnage : T=τ/10 et T=τ/100. Selon la figure 2, ce système est-il stable, justifiez votre réponse. 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Université des Frères Mentouri Constantine 1 Faculté des sciences et de la technologie Département de l’électrotechnique Master 1 Électrotechnique industriel TP Asservissements échantillonnés et régulation numérique 24/04/2021 On a : G(s)= 1 τs+1 ……(1) G(s)= k τ s n+1s c……..(2) n=1 ❑ → 1pole ❑ → P1=−1 τ C=0 Donc le système est stable Question2 La transformée de Fourier du signal échantillonné y(k) est donnée par : ´ Y (ω)= 1 T ∑ n=−∞ +∞ Y (ω−n 2π T ¿)¿ Pour des raisons de simplification, on ne considère que deux motifs (n=-1 et n=1) du signal original : 1) Exécuter le programme Question N°2 et tracer, Pour différentes valeurs de T, l’allure des trois motifs de |´ Y (ω)| sur la même figure ainsi que celle de |´ Y (ω)| (c à d la somme des trois motifs). Donner vos remarques. T = τ/20 T = τ/100 Figure 3 : l’allure des trois motifs séparément de |´ Y (ω)| Pour différentes valeurs de T 3 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 10 4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 10 4 0 200 400 600 800 1000 1200 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 0 50 100 150 200 250 Université des Frères Mentouri Constantine 1 Faculté des sciences et de la technologie Département de l’électrotechnique Master 1 Électrotechnique industriel TP Asservissements échantillonnés et régulation numérique 24/04/2021 T = τ/20 T = τ/100 Figure 4.la somme des trois motifs de |´ Y (ω)| Pour différentes valeurs de T La remarque : le spectre du signal d’entrée est borné le spectre d’un signal échantillonné est infinie la fréquence d’échantillonnage trop basse Question3 1) Expliquer brièvement le théorème de Shannon Pour pouvoir reconstituer sans perte d’information un signal continu à partir d’une suite d’échantillons de période T, il faut que la fréquence d’échantillonnage fe=1/T soit au moins égale au double de la fréquence maximale contenue dans le spectre de ce signal 2) Le programme Matlab Question N°3 réalise la Transformée de Fourier Discrète (DFT) de y(k).  Donner l’expression théorique générale de la DFT. S(k)= ∑ n=0 n−1 S (n )e −2 j kn ᴨ /N  Démontrer que cette DFT est périodique et de période N (N est le nombre d’échantillons temporels). …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3) Exécuter le programme Matlab Question N°3 et tracer l’allure de la DFT pour plusieurs valeurs de la période d’échantillonnage T. Que remarquez-vous ? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Université des Frères Mentouri Constantine 1 Faculté des sciences et de la technologie Département de l’électrotechnique Master 1 Électrotechnique industriel TP Asservissements échantillonnés et régulation numérique 24/04/2021 T = τ/20 T = τ/100 Figure 5 : l’allure de la DFT pour plusieurs valeurs de la période d’échantillonnage T. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………  Tracer l’allure de la DFT (en fonction de ω) et celle de |´ Y (ω)| sur la même figure pour plusieurs valeurs de la période d’échantillonnage T. Vérifier la validité du théorème de Shannon. T = τ/20 T = τ/100 Figure 6 : l’allure de la DFT (en fonction de ω) et celle de |´ Y (ω)| pour plusieurs valeurs de la période d’échantillonnage T …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Question4 Pour la reconstruction du signal continu yr(t) à partir du signal discret y(k), on doit filtrer |´ Y (ω)| moyennant un filtre passe-bas conçu pour isoler le spectre fondamental des spectres complémentaires (supprimer les deux motifs). 1) Démontrer l’expression de la fonction de transfert d’un BOZ. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) Exécutez le code Matlab suivant pour tracer le diagramme de Bode de B0(S). % Question N°4 w=-10*pi/T:.1:10*pi/T ; HOZ=(1-exp(-j*w*T))./(j*w*T); % expression du BOZ abs_HOZ = 20*log10(abs(HOZ)); % gain en dB angle_HOZ=angle(HOZ)*180/pi; % phase en radian % trabé fu diagramme de Bode figure (6); subplot(2,1,1) plot(w,abs_HOZ); figure (6); subplot(2,1,2) 5 Université des Frères Mentouri Constantine 1 Faculté des sciences et de la technologie Département de l’électrotechnique Master 1 Électrotechnique industriel TP Asservissements échantillonnés et régulation numérique 24/04/2021 plot(w, angle_HOZ); Figure 7 : le diagramme de Bode de B0(S).  Quelle est la pulsation ωe qui corresponde à la fréquence d’échantillonnage T. À partir du graphe de la figure 7, ce filtre élimine-t-il vraiment les spectres au-delà de ωe 2 . …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3) Pour introduire l’effet du BOZ, tracez le spectre (module) de T*B0(S)*´ Y (ω). Que remarquez-vous ? T = τ/20 T = τ/100 Figure 8 : le spectre (module) de T*B0(S)*´ Y (ω) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4) Tracez le spectre (module) de T*B0(S)*´ Y (ω) et celui de G(S) sur la même figure et vérifiez que ce filtre élimine vraiment les motifs complémentaires du spectre de ´ Y (ω). Avez-vous reproduit le spectre de G(S). 6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 10 4 -400 -300 -200 -100 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 10 4 -200 -100 0 100 200 Université des Frères Mentouri Constantine 1 Faculté des sciences et de la technologie Département de l’électrotechnique Master 1 Électrotechnique industriel TP Asservissements échantillonnés et régulation numérique 24/04/2021 T = τ/20 T = τ/100 Figure 9 : le spectre de T*B0(S)*´ Y (ω) et celui de G(S) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Question5 1) Expliquer le phénomène de repliement de spectre. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) À l’aide du logiciel Simulink, essayer de voir de près l’effet d’un filtre anti-repliement sur l’exemple précédent. Donnez vos remarques.  (Mettez ici la figure du montage de la simulation sur Simulink et les figures des résultats). 7 uploads/Industriel/ document-reponse-tp1-2-2020-2021.pdf