Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Espaces vectoriels normés Géométrie Exercice 1. Unicité du centre et du rayon d

Espaces vectoriels normés Géométrie Exercice 1. Unicité du centre et du rayon d’une boule Soit E un evn non nul et a, a′ ∈E, r, r′ > 0 tels que B(a, r) = B(a′, r′). Montrer que a = a′ et r = r′. Exercice 2. x + y + z = 0 Soient x, y, z trois vecteurs d’un evn E tels que x + y + z = 0. Montrer que : ∥x −y∥+ ∥y −z∥+ ∥z −x∥⩾3 2(∥x∥+ ∥y∥+ ∥z∥). Exercice 3. Médiatrice Dans R2 on considère les points O = (0, 0) et A = (1, 2). Pour chacune des trois normes classiques, déterminer l’ensemble des points X = (x, y) équidistants de O et A. Exercice 4. Une boule est convexe Soit E un evn, a ∈E, r > 0. On note B = B(a, r) et ˚ B = ˚ B(a, r). 1) Montrer que B et ˚ B sont convexes. 2) Si la norme est euclidienne, montrer que si u, v ∈B avec u ̸= v, alors ]u, v[ ⊂˚ B. (]u, v[= {(1 −t)u + tv tq t ∈]0, 1[}) 3) En déduire que si la norme est euclidienne, toute partie A telle que ˚ B ⊂A ⊂B est convexe. 4) Donner un contre-exemple avec une norme non euclidienne. Exercice 5. Distance à un ensemble Soit E un evn et A ⊂E une partie non vide. Pour x ∈E on pose : d(x, A) = inf{∥x −a∥tq a ∈A}. 1) Montrer que : ∀x, y ∈E, |d(x, A) −d(y, A)| ⩽∥x −y∥. 2) Montrer que l’application x 7→d(x, A) est continue. Exercice 6. Distance à un ensemble (ENS Cachan MP 2002) Soit A une partie de Rn non vide. On note pour x ∈Rn : dA(x) = inf{∥x −y∥tq y ∈A}. 1) Montrer que dA est continue. 2) Soient deux parties de Rn non vides A, B. Donner une condition équivalente à dA = dB. 3) On note ρ(A, B) = sup{|dA(y) −dB(y)|, y ∈Rn}, valant éventuellement +∞. Montrer que l’on a ρ(A, B) = max sup x∈A dB(x), sup x∈B dA(x) . Exercice 7. Distance entre un fermé et un compact Soient A, B deux parties compactes non vides de Rn. Montrer qu’il existe a ∈A et b ∈B tels que ∥a −b∥= min{∥x −y∥tq x ∈A, y ∈B}. Montrer que ceci est encore vrai si on suppose A compact et B fermé. Exercice 8. Diamètre Soit E un evn de dimension ﬁnie et A ⊂E borné, fermé, non vide. Montrer qu’il existe a, b ∈A tels que ∥a −b∥= max(∥x −y∥tq x, y ∈A) (considérer l’ensemble A × A dans l’evn E × E). Exercice 9. Diamètres concourants (Ens Ulm MP∗2003) 1) Soit K un compact convexe de R2 d’intérieur non vide. Soit O ∈˚ K. Montrer qu’il existe une fonction f : R →R+ continue 2π-périodique telle qu’en coordonnées polaires de centre O, K est déﬁni par ρ ⩽f(θ). 2) Soit g : [0, 1] →R continue telle que R π x=0 g(x) cos(x) dx = R π x=0 g(x) sin(x) dx = 0. Montrer que g s’annule au moins deux fois sur ]0, π[. 3) Soit G le centre de gravité de K. Montrer que G est le milieu d’au moins trois « diamètres » de K (trois segments joignant deux points de la frontière). Exercice 10. x/ max(1, ∥x∥), Centrale MP 2005 Soit f déﬁnie par f(x) = x max(1, ∥x∥). Montrer que f est 2-lipschitzienne. evn.tex – vendredi 5 août 2016 Suites Exercice 11. un colinéaire à vn ⇒lim un colinéaire à lim vn Soit E un evn de dimension ﬁnie et (un), (vn) deux suites de vecteurs telles que : ∀n ∈N, un est colinéaire à vn, un − → n→∞u, vn − → n→∞v. Montrer que u et v sont colinéaires (raisonner par l’absurde et compléter (u, v) en une base de E). Exercice 12. Suites de Cauchy Soient (un), (vn) deux suites d’un evn E telles que un −vn − → n→∞0 et (un) est de Cauchy. Montrer que (vn) est de Cauchy. Exercice 13. Suite de Cauchy non convergente Soit E = R[X] muni de la norme : ∥P akXk∥= max(|ak|, k ∈N). On note Pn = 1+X + X2 2 +. . .+ Xn n . Montrer que la suite (Pn) est de Cauchy, mais ne converge pas. Exercice 14. termes d’une suite Soit (un) une suite convergeant vers ℓet f : N →N. 1) Si f est injective, que peut-on dire de la suite (uf(n)) ? 2) Si f est surjective, que peut-on dire de la suite (uf(n)) ? Exercice 15. Mines PC 1998 Soit B une matrice antisymétrique. On suppose que la suite (Bn) converge vers une matrice C. Que peut-on dire de C ? Exercice 16. Suite de matrices inversibles Soit (An) une suite de matrices de Mp(R) vériﬁant les propriétés suivantes : 1 : An − → n→∞A ∈Mp(R) 2 : pour tout n, An est inversible 3 : A−1 n − → n→∞B ∈Mp(R). 1) Montrer que A est inversible et A−1 = B. 2) Peut-on retirer la propriété 3 ? Exercice 17. Suite de matrices inversibles Soit A ∈Mp(R) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant vers A. Exercice 18. DSE de I −A Soit A ∈Mp(R). On suppose que la suite de matrices : An = I + A + A2 + . . . + An converge vers une matrice B. Montrer que I −A est inversible, et B = (I −A)−1. Remarque : La réciproque est fausse, c’est à dire que la suite (An) peut diverger même si I −A est inversible ; chercher un contre-exemple. Exercice 19. Ensam PSI 1998 Soit A ∈Mn(C) telle que la suite (Ak) converge vers une matrice P. Montrer que P est une matrice de projection. Exercice 20. Suites de fonctions Soient E = C([a, b], R), (fn) une suite de fonctions de E et f ∈E. Comparer les énoncés : 1 : ∥fn −f∥1 − → n→∞0 2 : ∥fn −f∥2 − → n→∞0 3 : ∥fn −f∥∞− → n→∞0. evn.tex – page 2 Exercice 21. On note E l’espace vectoriel des suites réelles (xn) telles que la série P x2 n converge. On le munit du produit scalaire (x | y) = P∞ n=0 xnyn. Soit (ys) une suite bornée d’éléments de E. Montrer qu’on peut en extraire une sous-suite convergent faiblement, c’est-à-dire qu’il existe z telle que pour tout x de E on ait (x | ysk) − → k→∞(x | z). Exercice 22. ENS Lyon MP 2002 Soit E un espace vectoriel normé sur R ou C de dimension ﬁnie, et u ∈L(E) tel que pour tout x ∈E la suite (un(x))n∈N est bornée. 1) Montrer que la suite ( un )n∈N est bornée. 2) Déterminer la limite quand n →∞de 1 n+1 Pn i=0 ui(x). Normes Exercice 23. Norme bizarre Montrer que (x, y) 7→sup t∈R |x + ty| 1 + t + t2 est une norme sur R2 ; dessiner la boule unité. Exercice 24. Normes de polynômes Soit E = R[X]. Pour P = Pn k=0 akXk, on pose : ∥P∥1 = n X k=0 |ak|, ∥P∥∞= max{|a0|, . . . , |an|}, ∥P∥∗= max{|P(t)| tq 0 ⩽t ⩽1}. Montrer que ce sont des normes, et qu’elles sont deux à deux non équivalentes (on considèrera Pn(t) = (t −1)n et Qn(t) = 1 + t + t2 + . . . + tn). Exercice 25. Norme de polynômes Soit E = R[X]. Pour P ∈E on pose ∥P∥= sup(|P(t) −P ′(t)| tq t ∈[0, 1]). Montrer qu’on déﬁnit ainsi une norme sur E. Exercice 26. Normes de polynômes Soit a ∈R. On pose pour P ∈R[X] : Na(P) = |P(a)| + R 1 t=0 |P ′(t)| dt. Montrer que. . . 1) Na est une norme. 2) N0 et N1 sont équivalentes. 3) Si a, b ∈[0, 1], alors Na et Nb sont équivalentes. 4) Soit Pn = (X/2)n. Déterminer pour quelles normes Na la suite (Pn) est convergente et quelle est sa limite. 5) Si 0 ⩽a < b et b > 1 alors aucune des normes Na, Nb n’est plus ﬁne que l’autre. Exercice 27. Normes sur R[X] Soit (λn) une suite de réels strictement positifs. On lui associe la norme sur R[x] : N(P aixi) = P λi|ai|. Soient (λn) et (λ′ n) deux suites et N, N ′ les normes associées. Montrer que N et N ′ sont équivalentes si et seulement si les suites (λn/λ′ n) et (λ′ n/λn) sont bornées. Exercice 28. Centrale MP 2006 E est l’ensemble des fonctions f de classe C2 sur [0, 1] telles que f(0) = f ′(0) = 0. Pour f ∈E, on pose : N∞(f) = sup x∈[0,1] |f(x)|, N(f) = sup x∈[0,1] |f(x) + f ′′(x)|, N1(f) = sup x∈[0,1] |f ′′(x)| + sup x∈[0,1] |f(x)|. 1) Montrer que N∞, N et N1 sont des normes sur E. 2) Montrer uploads/Industriel/ corrige-evn.pdf