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Chapitre I: LES SIGNAUX ANALOGIQUES USUELS OBJCETIFS SPECIFIQUES :  Donner l’e

Chapitre I: LES SIGNAUX ANALOGIQUES USUELS OBJCETIFS SPECIFIQUES :  Donner l’expression mathématique et représentation des signaux usuels utilisés en traitement du signal  calculer le produit de convolution, corrélation, autocorrélation de deux signaux I – DEFINITIONS 1-Signal Un signal est la représentation physique d’une information qui est transportée avec ou sans transformation, de la source jusqu’au destinataire. Sa nature physique peut être très variable : acoustique, électronique, optique, etc. 2 - Un signal analogique Un signal est dit analogique si l’amplitude de la grandeur porteuse de l’information peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle de temps donné. Dans sa forme analogique un signal peut être:  continu, amplitude constante,  variable, l’amplitude varie continûment en fonction du temps. II - LES SIGNAUX USUELS 1. Fonction échelon unité La fonction échelon unité, ou simplement échelon, notée ǫ, est une fonction réelle de la variable réelle déﬁnie par : 2. Fonction rampe La fonction rampe, notée r, est une fonction réelle de la variable réelle déﬁnie par : r(t) = t.u(t) Exemple de signal analogique variable Exemple de signal analogique continu 3. Fonction triangle La fonction triangle unité, notée tri, est une fonction réelle de la variable réelle déﬁnie par : 4. Fonction rectangle ou porte La fonction rectangle, ou fonction porte, de largeur1, notée rect, est une fonction réelle de la variable réelle déﬁnie par : 5. Fonction signe La fonction signe, notée sgn est une fonction réelle de la variable réelle déﬁnie par : 6. Distribution de Dirac La distribution ou impulsion de Dirac, notée δ(t), vériﬁe : 7. Fonction sinus cardinal La fonction sinus cardinal, notée sinc(u), est déﬁnie : III – PROPRIETES TEMPORELLES 1) Produit de convolution Le produit de convolution entre deux fonctions x(t) et h(t), noté par le symbole ∗, est déﬁni par les intégrales : Il est associé à l’opération de ﬁltrage d’un signal x(t) par un ﬁltre de réponse impulsionnelle h(t) . La sortie du ﬁltre, y(t), vaut alors y(t) = x(t) ∗ h(t). a) Propriétés du Produit de convolution A partir de la déﬁnition du produit de convolution, on montre facilement que le produit de convolution est :  commutatif : x1 (t) ∗ x2 (t) = x2 (t) ∗ x1 (t),  associatif : x1 (t) ∗ (x2 (t) ∗ x3 (t)) = (x1 (t) ∗ x2 (t)) ∗ x3 (t),  distributif par rapport à l’addition : x1 (t) ∗ (x2 (t) + x3 (t)) = x1 (t) ∗ x2 (t) + x1 (t) ∗ x3 (t). 2) Energie et puissance des signaux Toute transmission d’information est liée à un transfert d’énergie. Comment mesure t’on l’énergie d’un signal ? Soit un signal x(t) déﬁni sur un intervalle ]-∞ ,+∞ [, et T un intervalle de temps . On peut le caractériser par les grandeurs suivantes :  Energie :  Puissance : 3) Fonctions de corrélation et d’autocorrélation Pour comparer deux signaux entre eux, ou faire ressortir une caractéristique d’un signal noyé dans le bruit, on compare le signal x(t) pris à l’instant t, à un signal y(t) pris à un instant t’ = t – τ. a) Fonction corrélation on appelle fonction de corrélation entre deux signaux x(t) et y(t), la fonction de τ définie par : Cette fonction s’appelle aussi fonction d’inter-corrélation entre les signaux x(t) et y(t).elle traduit la ressemblance de forme entre eux. b) fonction d’autocorrélation l’autocorrélation réalise la comparaison entre un signal x(t) et ses copies retardées IV – EXERCICES D’APPLICATION Exercice1 : Calculer l’énergie et la puissance totales des signaux suivants (on prendra T=1 quand nécessaire pour les applications numériques) :  Echelon de Heaviside  Fonction porte de largeur T et de hauteur 1/T, centrée sur 0 Exercice2 : On considère le produit de convolution entre 2 signaux x(t) et y(t) : Par un changement de variable adéquat, montrer que le produit de convolution est commutatif. Exercice3 : Calculer le produit de convolution (x ∗h)(t) où : uploads/Industriel/ chapitre-i 4 .pdf