Probabilités conditionnelles Loi binomiale 1 Probabilité 1.1 Généralités Lors d
Probabilités conditionnelles Loi binomiale 1 Probabilité 1.1 Généralités Lors d’une expérience aléatoire : • L’univers Ωest l’ensemble des issues possibles. • Un événement A est une partie de l’univers. • Un événement élémentaire ei est un événement ne comportant qu’un seul élément. • L’événement contraire de l’événement A est l’événement noté A formé de tous les éléments de Ωn’appartenant pas à A. • L’événement A ∩B (noté aussi "A et B") est l’événement formé des éléments de Ω appartenant à A et à B. • L’événement A ∪B (noté aussi "A ou B") est l’événement formé des éléments de Ω appartenant au moins à l’un des événements A ou B. • Deux événements A et B sont dits incompatibles si A ∩B = ∅. • Si Ω= {e1, e2, . . . , en} et si à chaque issue ei on associe un nombre P(ei) tel que 0 ⩽P(ei) ⩽1 et P(e1) + P(e2) + · · · + P(en) = 1, on dit que l’on a défini une loi de probabilité sur Ω. • La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémen- taires qui le constituent. Pour tous événements A et B : • P(∅) = 0 ; P(Ω) = 1 • 0 ⩽P(A) ⩽1 ; P(A) = 1 −P(A) • P(A ∪B) = P(A) + P(B) −P(A ∩B) (si A et B sont incompatibles alors p(A ∪B) = p(A) + p(B)) • Pour une loi équirépartie : P(A) = nbre d’éléments de A nbre d’éléments de Ω= nbre de cas favorables nbre de cas possibles 1.2 Variable aléatoire Une variable aléatoire X définie sur un univers Ωest une fonction qui à chaque issue associe un réel xi. La probabilité que X prenne la valeur xi est alors notée P(X = xi) ou pi. • Définir la loi de probabilité de X, c’est donner (sous forme d’un tableau) la probabilité de chacun des événements X = xi. • Espérance mathématique de X : E(X) = ∑pixi = p1x1 + · · · + pnxn L’espérance représente la valeur moyenne que prend X si on répète un grand nombre de fois l’expérience aléatoire • Variance de X : V(X) = ∑pix2 i −E2(X) = p1x2 1 + · · · + pnx2 n −E2(X) • Écart-type de X : σ(X) = q V(X) Exemple : On lance 3 fois de suite un dé. Le joueur gagne 6 euros s’il n’obtient aucun 1 et aucun 2 et il perd 3 euros dans le cas contraire. X, la variable aléatoire égale au gain du joueur, ne peut prendre que les valeurs −3 et 6. On a P(X = 6) = 43 63 = 8 27 et P(X = −3) = 1 −p(X = 6) = 19 27 E(X) = −3 × 19 27 + 6 × 8 27 = −1 3 V(X) = (−3)2 × 19 27 + 62 × 8 27 − −1 3 2 = 152 9 et σ(X) = r 152 9 = 2 √ 38 3 2 Probabilités conditionnelles Etant donné deux événements A et B (B ̸= ∅) d’un univers Ω. On appelle probabilité de B sachant A, le réel noté PA(B) tel que : PA(B) = P(A ∩B) P(A) On a alors : P(A ∩B) = P(A) × PA(B) = P(B) × PB(A) PAUL MILAN DERNIÈRE IMPRESSION LE 13 mars 2016 à 0:36 TERMINALE S 3. INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÉNEMENTS Formule des probabilités totales Si A1, A2,. . .,An forment une partitions de Ω(2 à 2 incompatibles et leur union forme Ω), alors pour tout événement B, on a : P(B) = P(A1 ∩B) + · · · + P(An ∩B) = P(A1) × PA1(B) + · · · + P(An)PAn(B) Représentation par un arbre pondéré Le cas le plus fréquent correspondond à la partition la plus simple (A et A). Si on connaît les probabilité de B et B par l’intermédiare de A et A, on a l’arbre suitvant : A P(A) B PA(B) B PA(B) A P(A) B PA(B) B PA(B) • Le produit des probabilités inscrites sur chaque branche d’un chemin donne la probabilité de l’in- tersection des événements placés sur ce chemin. P(A) × PA(B) = P(A ∩B) • La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1 (loi des nœuds). PA(B) + PA(B) = 1 • La probabilité d’un événement E est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à E. P(B) = P(A)PA(B) + P(A)PA(B) Exemple : Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus. On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes • La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test). • La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spéci- ficité du test). On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note V l’événement « la personne est contaminée par le virus » et T l’événement « le test est positif ». V 0,02 T 0,99 T 0,01 V 0,98 T 0,03 T 0,97 • Quelle est la probabilité que le test soit positif P(T) = 0, 02 × 0, 99 + 0, 98 × 0, 03 = 0, 0492 • Quelle est la probabilité que la personne soit contaminée sachant que le test est positif : PT(V) = P(T ∩V) P(T) = 0, 02 × 0, 99 0, 0492 = 0, 4024 3 Indépendance de deux événements Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si : PA(B) = P(B) ⇔ P(A ∩B) = P(A) × P(B) 4 Loi binomiale • On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ne présen- tant que deux issues possibles (contraire l’une de l’autre) • On appelle schéma de Bernoulli toute répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes Étant donné une épreuve de Bernoulli où la probabilité d’obtenir un succès S est p et le schéma de Bernoulli consistant à répéter n fois de manière indépendante cette épreuve. Si on note X la variable aléatoire qui à chaque issue possible du schéma de Bernoulli associe le nombre de fois où est apparu un succès S, la loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p et est notée B(n; p). • Probabilité d’obtenir k succès : P(X = k) = n k pk (1 −p)n−k • Espérance de X : E(X) = np • Variance et écart-type de X : V(X) = np(1 −p) ; σ(X) = p np(1 −p) PAUL MILAN TERMINALE S uploads/Histoire/ fiche-proba-conditionnelles-loi-binomiale.pdf
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- Publié le Jul 01, 2021
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