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Théorie du signal Chapitre 01 Généralités sur les Signaux Pr. Abdallah Miloudi

Théorie du signal Chapitre 01 Généralités sur les Signaux Pr. Abdallah Miloudi Page 1 1.1. Généralités : 1.1.1. Définition d’un signal : Un signal, qui est représenté par une fonction mathématique, est un support d’informations utilisé pour stocker les données d’une variable physique dans le but de les transférer d’un transmetteur vers un récepteur.. On peut par exemple représenter la tension aux bornes d’un condensateur par la fonction temporelle ࢜(࢚) qu’on va appeler signal tension ࢜(࢚). Le graphe du signal est une représentation temporelle de la variable physique. Exemple 01 : x Si ݒ(ݐ) est le signal qui représente une tension continu de 10 V alors le graphe du signal tension ݒ(ݐ) est donné par : x Si ݒ(ݐ) est le signal qui représente une tension alternative de valeur maximale ܸ ௠= 10 ܸ, de frequence ݂= 2 ܪݖ et de phase nulle alors le signal ݑݒ(ݐ) est la fonction sinusoïdale suivante : ݒ(ݐ) = ܸ ௠sin(2ߨ݂ݐ+ ߮) = 10 sin4ߨݐ Et le graphe du signal tension ݒ(ݐ) est donné par : 1.1.2. Signal continu et signal discret : Les signaux représentant des variables physique sont des signaux analogiques ou continus, c’est-à-dire qu’ils contiennent la valeur du paramètre physique à n’importe quelle valeur du temps. Pour traiter une variable physique par ordinateur dont la capacité mémoire est finie, on doit extraire un nombre limité de ses valeurs par échantillonnage. On obtient ainsi un signal discret qui contient la valeur de la variable physique à des instants discrets ݐ= ݊ܶ (݊= 0,1,2, … ) où ܶ est un intervalle fixe appelé intervalle d’échantillonnage. On représente mathématiquement ce signal discret par la séquence de ses valeurs. Exemple 02 : Considérons le signal continu ݔ(ݐ) de la figure suivante. Déterminer les différentes valeurs du signal discret obtenu par échantillonnage de ݔ(ݐ) avec un intervalle de ܶ= 1ݏ. 0 0.25 0.5 0.75 1 -10 0 10 t (s) Tension v(t) Echantillonnage du signal sinusoïdal Reconstitution du signal sinusoïdal à partir de ses échantillons Théorie du signal Chapitre 01 Généralités sur les Signaux Pr. Abdallah Miloudi Page 2 Réponse : L’échantillonnage du signal ݔ(ݐ) avec un intervalle ܶ= 1ݏ donne un signal discret ݔ[݊] qui est représenté mathématiquement par la séquence de valeurs suivante : La flèche indique la position de ݔ(0) 1.1.3. Signal périodique : Un signal continu ݔ(ݐ) est dit périodique s’il existe une constante positive T tel que : ݔ(ݐ+ ܶ) = ݔ(ݐ) ׊ݐ x La plus petite valeur ܶ qui satisfait la condition est appelée période fondamentale du signal ݔ(ݐ). x La courbe d’une période ܶ du signal se répète sur toutes les autres périodes. x On peut représenter un signal périodique en utilisant la description mathématique du signal dans la période ሾെܶ/2 ܶ/2]. Exemple 03: Considérons le signal triangulaire donné par la figure suivante : Ce signal est périodique et sa période fondamentale est ܶ= 2 . On définit ce signal dans la période ሾെܶ/2 ܶ/2] = [െ1 1] par : ݔ(ݐ) = ൜ݐ+ 1 si ݐא ሾെ1 0] െݐ+ 1 si ݐא [0 1] Exemple 04: Considérons le signal carré donné par la figure suivante : Ce signal est périodique et sa période fondamentale est ܶ= 2 . On définit ce signal dans la période ሾെܶ/2 ܶ/2] = [െ1 1] par : ݔ(ݐ) = ൜1 si ݐא ሾെ1 0] 0 si ݐא [0 1] Remarques : Si ݔ(ݐ) est in signal périodique de période fondamentale ܶ alors : x La valeur moyenne de ݔ(ݐ) est donnée par : ܺ ത= 1 ܶනݔ(ݐ)݀ݐ ் ଴ x La valeur efficace de ݔ(ݐ) est donnée par : ܺ௘௙௙= ඨ1 ܶනݔ(ݐ)ଶ݀ݐ ் ଴ 1.1.4. Signal causal : Un signal causal est un signal qui est nul pour ݐ< 0 : Par exemple le signal échelon unité défini par : ݑ(ݐ) = ቄ1 si ݐ൒0 0 sinon - Remarque : Si ݔ(ݐ) est un signal non causal alors le signal ݔ(ݐ)ݑ(ݐ) est un signal causal : ݔ(ݐ) ή ݑ(ݐ) = ቄݔ(ݐ) si ݐ൒0 0 sinon Théorie du signal Chapitre 01 Généralités sur les Signaux Pr. Abdallah Miloudi Page 3 1.1.5. Signal pair et signal impair : x Signal pair : Le signal ݔ(ݐ) est dit pair si ׊ݐ, ݔ(ݐ) = ݔ(െݐ). La courbe d’un signal pair est symétrique par rapport l’axe des y. Remarque : si ݔ(ݐ) est un signal pair alors : නݔ(ݐ)݀ݐ ௔ ି௔ = 2 නݔ(ݐ)݀ݐ ௔ ଴ x Signal impair : Le signal ݔ(ݐ) est dit impair si ׊ݐ, ݔ(ݐ) ൌെݔ(ݐ). La courbe d’un signal impair est symétrique par rapport l’origine. Remarque : si ݔ(ݐ) est un signal impair alors : නݔ(ݐ)݀ݐ ௔ ି௔ = 0 x Propriétés : a) signal pair × signal pair Æ signal pair b) signal pair × signal impair Æ signal impair c) signal impair × signal impair Æ signal pair 1.1.6. Signal déterministes et signal aléatoire : x Signal déterministes : C’est un signal dont l’évolution temporelle peut être prédite par un modèle mathématique approprié ; x Signal aléatoire : C’est un signal qui a un comportement temporel imprévisible et dont la description ne peut se faire qu’au travers d’observations statistiques 1.1.7. Signal à énergie finie et signal à puissance moyenne finie : x Signal à énergie finie : L’énergie ܹ ௫ d’un signal ݔ(ݐ) est définie par : ܹ ௫= න ݔଶ(ݐ)݀ݐ ஶ ିஶ Un signal est dit à énergie finie si ܹ ௫ est une valeur finie (ܹ ௫൏λ). Exemple 05 : Considérons le signal non permanent suivant : ݔ(ݐ) = ቄsin ݐ si 0 ൑ݐ൑2ߨ 0 sinon Théorie du signal Chapitre 01 Généralités sur les Signaux Pr. Abdallah Miloudi Page 4 L’énergie de ce signal ݔ(ݐ) est donnée par : ܹ ௫= න ݔଶ(ݐ)݀ݐ ஶ ିஶ = න sinଶݐ݀ݐ ଶగ ଴ = න ͳ െcos 2t 2 ݀ݐ ଶగ ଴ = 1 2 ൤ݐെ1 2 sin 2ݐ൨ ଴ ଶగ = 1 2 ൤(2ߨെ0) െ1 2 (sin4ߨെsin0)൨= ߨ Le signal ݔ(ݐ) est donc a énergie finie. x Signal à puissance moyenne finie : La puissance moyenne x P d’un signal ) (t x est définie par : ܲ ௫= lim ்՜ஶ 1 ܶන |ݔ(ݐ)|ଶ݀ݐ ்/ଶ ି்/ଶ Pour un signal périodique de période ܶ ଴= ܶ/݇, on obtient : ܲ ௫= lim ௞՜ஶቆ1 ݇ܶ ଴ × ݇න |ݔ(ݐ)|ଶ݀ݐ ் బ/ଶ ି் బ/ଶ ቇ= 1 ܶ ଴ න |ݔ(ݐ)|ଶ݀ݐ ் బ/ଶ ି் బ/ଶ = ܺ௘௙௙ ଶ Un signal est dit à puissance moyenne finie si ܲ ௫ est une valeur finie (ܲ ௫൏λ). Exemple 06 : Considérons le signal échelon unité ݑ(ݐ) = ቄ1 si ݐ൒0 0 sinon La puissance du signal ݑ(ݐ) est donnée par : ܲ ௫= lim ்՜ஶ 1 ܶනݑଶ(ݐ)݀ݐ ೅ మ ି೅ మ = lim ்՜ஶ 1 ܶන݀ݐ ೅ మ ଴ = lim ்՜ஶ൬1 ܶ× ܶ 2൰= 1 2 Le signal échelon unité est u signal à puissance moyenne finie. 1.1.8. Opérations sur les signaux : Soit le signal ݔ(ݐ) dont le graphe est donné par x Retarder le démarrage du signal d’un temps ࢀ : ݔ(ݐെܶ) x Avancer le démarrage du signal d’un temps ࢀ : ݔ(ݐ+ ܶ) Théorie du signal Chapitre 01 Généralités sur les Signaux Pr. Abdallah Miloudi Page 5 x Comprimer le signal : ݔ(ܽݐ) ܽ> 1 x Dilater le signal : ݔ(ݐ/ܽ) ܽ> 1 x Inverser le signal par rapport à l’axe vertical: ݔ(െݐ) 1.2. Notations usuelles des signaux types : 1.2.1. Signal sinusoïdal : C’est un signal périodique donnée par : ݔ(ݐ) = ܣsin(߱ݐ+ ߮) avec ߱= 2ߨ/ܶ= 2ߨ݂ Où ܣ : Amplitude du signal ; ݂ : fréquence fondamentale du signal ܶ : période fondamentale du signal. ߮ : Angle de phase du signal 1.2.2. Signal sinus cardinal : C’est un signal à énergie finie dont la description mathématique est donnée par : ݔ(ݐ) = sinc(ݐ) = sin(ߨݐ) ߨݐ 1.2.3. Signal Echelon unité : C’est le signal noté ݑ(ݐ) et définie par : ݑ(ݐ) = ቄ1 si ݐ൒0 0 sinon 1.2.4. Signal rampe : On le note ݉(ݐ) et il est définie par : ݉(ݐ) = ݐݑ(ݐ) 1.2.5. signal rectangulaire de largeur T (ou signal porte) : Il est noté ݎ்(ݐ) et il est définie par : ݎ்(ݐ) = ݑ(ݐ+ ܶ/2) െݑ(ݐെܶ/2) T est la largeur du signal. 1.2.6. Signal triangulaire de largeur T : On le note ο்(ݐ) et il est défini par la relation : ݐݎ்݅(ݐ) ൌο்(ݐ) = ቊͳ െ ଶ|௧| ் si |ݐ| < 0 0 sinon Théorie du signal Chapitre 01 Généralités sur les Signaux Pr. Abdallah Miloudi Page 6 1.2.7. Distribution ou impulsion de Dirac : C’est le signal noté ߜ(ݐ) définie par la relation : ߜ(ݐ) = lim ்՜ஶ 1 ܶݎ்(ݐ) Quand ܶ ՜ 0 le signal ଵ ்ݎ்(ݐ) tend vers une impulsion de largeur infiniment petite et d’amplitude infinie. La surface de cette impulsion reste toujours égale à 1. On représente la distribution de Dirac par une flèche verticale ayant une hauteur de 1 qu’on désigne par le terme raie. ߜ(ݐ) est une raie de hauteur 1 qui apparait à ݐ= 0 2ߜ(ݐ) est une raie de hauteur uploads/Histoire/ cours-theorie-du-signal-chap-01.pdf